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MensagemEnviado: 21 Oct 2020, 16:37 
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Boa tarde,

apesar de saber que tenho de usar combinações, não consigo resolver o problema seguinte:

Considere todos os números naturais de seis algarismos que se podem escrever utilizando um algarismo
0, dois algarismos 4, três algarismos 5 e um algarismo 7.
Determine quantos destes números são superiores a 220 000


Obrigado, desde já pela ajuda.


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MensagemEnviado: 08 nov 2020, 19:18 
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Olá filipe13!

filipe13 Escreveu:
Considere todos os números naturais de seis algarismos que se podem escrever utilizando um algarismo
0, dois algarismos 4, três algarismos 5 e um algarismo 7.
Determine quantos destes números são superiores a 220 000


De acordo com enunciado, devemos determinar a quantidade de números de seis algarismos que são maiores que 220.000 utilizando \(\displaystyle \mathtt{\{ 0, 4, 4, 5, 5, 5, 7 \}}\).

O raciocínio que irei utilizar para solucionar a tarefa abrange o conceito de Permutação com repetição. Desse modo, far-se-á necessário dividi-la em três casos. Vejamos:

CASO I: o primeiro dígito do número é 4.

Decisão 1 (d1): colocar o algarismo 4 na ordem das centenas de milhar. Isto poderá ser feito de \(\displaystyle \mathtt{1}\) modo, ou seja, \(\displaystyle \mathtt{\#d_1 = 1}\)

Decisão 2 (d2): permutar os demais algarismos. No entanto, temos seis algarismos para permutar apenas cinco. Assim,

decisão 2.1 (d2.1): não considerar o dígito 7. Então temos \(\displaystyle \mathtt{\#d_{2.1} = P_5^3}\) permutações de \(\displaystyle \mathtt{\{ 0, 4, 5, 5, 5 \}}\);

decisão 2.2 (d2.2): não considerar o dígito 5. Então temos \(\displaystyle \mathtt{\#d_{2.2} = P_5^2}\) permutações de \(\displaystyle \mathtt{\{ 0, 4, 5, 5, 7 \}}\);

decisão 2.3 (d2.3): não considerar o dígito 4. Então temos \(\displaystyle \mathtt{\#d_{2.3} = P_5^3}\) permutações de \(\displaystyle \mathtt{\{ 0, 5, 5, 5, 7 \}}\);

decisão 2.4 (d2.4): não considerar o dígito 0. Então temos \(\displaystyle \mathtt{\#d_{2.4} = P_5^3}\) permutações de \(\displaystyle \mathtt{\{ 4, 5, 5, 5, 7 \}}\);

Daí, pelo Princípio Aditivo (PA), teremos:

\(\\ \displaystyle \mathtt{\#d_{2.1} + \#d_{2.2} + \#d_{2.3} + \#d_{2.4} = P_5^3 + P_5^2 + P_5^3 + P_5^3} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 3 \cdot P_5^3 + P_5^2} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 3 \cdot \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} + \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!}} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = 60 + 60} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \boxed{120}}\)

Pelo Princípio Multiplicativo (PM), \(\displaystyle \mathtt{1 \cdot 120 = 120}\). Isto é, há 120 números de seis algarismos que iniciam com 4.

De modo análogo, fazemos com os demais casos... Segue.

CASO II: o primeiro dígito do número é 5.

\(\\ \displaystyle \mathtt{1 \cdot \left ( P_5^{2, 2} + P_5^{2} + P_5^{2} + P_5^{2, 2} \right ) =} \\\\ \boxed{\mathtt{180}}\)


CASO III: o primeiro dígito do número é 7.

\(\\ \displaystyle \mathtt{1 \cdot \left ( P_5^{2, 2} + P_5^{3} + P_5^{3, 2} \right ) =} \\\\ \boxed{\mathtt{60}}\)


Por fim, pelo PA...

\(\\ \displaystyle \mathtt{120 + 180 + 60 =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{360}}}\)

_________________
Daniel Ferreira
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