Não tem de quê meu caro, estamos aqui para isso
Cumprimentos
| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Combinações https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=265 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | cardosor23 [ 31 mar 2012, 00:47 ] |
| Título da Pergunta: | Combinações |
Boas Precisava de mostrar esta igualdade, para n>= 1: \(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}= n^2\) Tentei fazer exercício com o seguinte raciocínio: Sei que o coeficiente binomial = \(\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\) 1. Lei de Pascal para o primeiro porque 1<= k <= n: \(\binom{n+2}{3} = \binom{n+2-1}{3-1}+\binom{n+2-1}{3}\) 2. Coeficiente binomial para o segundo: \(\binom{n}{3} = \frac{n!}{3!(n-3)!\) Não sei ao certo se estou a ir pelo caminho certo. Agradeço ajuda. Cardoso. |
|
| Autor: | JorgeMarques [ 31 mar 2012, 17:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Boa tarde. Eu julgo que essa igualdade não seja possível. Basta tentar n=1 e não temos os mesmos valores. Será que estou certo? \((n-3)!\) para n=1 é factorial de -2 que é indefinido. |
|
| Autor: | cardosor23 [ 01 abr 2012, 00:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Boa noite. Obrigado Jorge pela opinião. Se eu substituir n por qualquer valor vai sempre ser verdadeira esta igualdade. A questão é tentar desenvolver o lado esquerdo da igualdade. Tentei resolver a primeira com a lei de pascal, e a segunda com coeficiente binomial, mas não consigo ultrapassar. Alguém me consegue ajudar. Obrigado. Cardoso |
|
| Autor: | JorgeMarques [ 01 abr 2012, 11:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Se tentar usar indução para provar a igualdade, ela falha para n=1. E o universo, pelo que vi é n>=1. Não será uma boa base para provar que não é possivel? |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 02 abr 2012, 15:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Meu caro Então se \(\binom{n+2}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n+1}{3}\) Também sabemos que: \(\binom{n+1}{3}=\binom{n}{2}+\binom{n}{3}\) Ora então: \(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}\) Desenvolvamos então: \(\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n+1)n!}{2(n-1)(n-2)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!((n+1)+(n-1))}{2(n-1)(n-2)!}=\\=\frac{n.n!}{(n-1)!}=\frac{n.n!}{\frac{n!}{n}}=n^2\) cqd Cumprimentos |
|
| Autor: | JorgeMarques [ 02 abr 2012, 16:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Da minha parte obrigado. Confesso que estou básico nisto. No entanto por uma base de indução porque falha para o teste com n=1? |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 02 abr 2012, 17:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Meu caro, não falha para \(n=1\) pois \(\binom{1}{3}=0\) e \(\binom{3}{3}=1\) Vede: http://en.wikipedia.org/wiki/Combination |
|
| Autor: | JorgeMarques [ 02 abr 2012, 18:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Pela definição genérica de factorial a expressão falha (no entanto percebi agora que ela só pode ser usada quando k<=n...), bolas! Mas pela expressão base tal poderia ser demonstrado, conforme fez. Obrigado e muito esclarecido. Grato por se ter dado ao trabalho de responder a uma dúvida, de facto básica. |
|
| Autor: | João P. Ferreira [ 03 abr 2012, 00:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Combinações |
Não tem de quê meu caro, estamos aqui para isso Cumprimentos |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|