Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Mostre que n! > 2^n, se n maior ou igual a 4.

Boas

Por indução matemática:

Base:

É verdade para \(n=4\), pois \(4!>2^4 \Leftrightarrow 24>16\)

Passo:

Se é válido para \(n\) também é válido para \(n+1\)
Vamos fazer o teste:

\((n+1)! > 2^{n+1} \Leftrightarrow (n+1).n! > 2.2^n \Leftrightarrow \frac{n+1}{2}.n! > 2^n\)

Como \(\frac{n+1}{2}>1\) para \(n\geq 4\) e como considerámos que era verdadeiro \(n! > 2^n\) para \(n\geq 4\) prova-se assim que \(\frac{n+1}{2}.n! > 2^n\)

Concluímos assim que \(n! > 2^n, n\geq 4\)

Cumprimentos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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