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| Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=3515 |
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| Autor: | guilhermelelis95 [ 06 set 2013, 17:03 ] |
| Título da Pergunta: | Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 |
Seja X uma variável aleatória que representa o número de peças produzidas por uma máquina em um período de um dia. A probabilidade da maquina estar desligada em um dia qualquer é 1/2.(Se a máquina estiver desligada, então ela não produz nenhuma peça). A probabilidade da máquina estar ligada e produzir i peças é dada por P(X=i) = p^i, i=1,2,3,... Sabemos que para uma variável aleatória X, para cada valor possível Xi de X, ∑ P(Xi)=1, como a probabilidade da máquina estar deligada é de 1/2, temos que ∑ p^i=1/2, com i variando de 1 até ∞. A questão a pede o valor da constante p, a resposta é 1/3, mas não to conseguindo chegar lá... |
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| Autor: | FernandoMartins [ 06 set 2013, 19:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 [resolvida] |
Olá guilhermelelis95 Observa que a série \(S=\sum_{n\in \mathbb{N}}p^{n}\) é uma série geométrica cujo 1.º termo a1=p, e cuja razão r=p. Mas as séries geométricas são convergentes desde que a sua razão esteja entre 0 e 1, o que é este um dos casos, já que p é uma probabilidade. A Soma de uma série geométrica convergente é dada pela expressão: \(S=\frac{a_{1}}{1-r}\) Logo, \(1/2=\frac{p}{1-p}\Leftrightarrow p=1/3\) Bom estudo. 
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| Autor: | guilhermelelis95 [ 09 set 2013, 17:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 |
Hmm, mas de onde vem essa expressão? |
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| Autor: | FernandoMartins [ 10 set 2013, 16:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Descobrir o valor de p, onde ∑ p^i=1/2 |
Referes-te à soma da Série Geométrica? Sabes que \(u_{n}=p^{n}\) é uma progressão geométrica. Certo? Uma progressão geométrica, tem como termo geral: \(u_{n}=a_{1}r^{n-1}\) Então, escreve a expressão da Soma dos n primeiros termos (Sn) de uma progressão geométrica? Porque, uma Série é, por definição, a soma de infinitos termos de uma sucessão, então podes calcular a soma da Série, que será, por isso: \(S=\lim_{n}S_{n}\) Agora calcula a este limite, e ficas com a expressão analítica, de que tinhas a dúvida. |
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