Fórum de Matemática
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Peço uma grande ajuda para provar os resultados abaixo sobre função caracteristica:
Assuma que X é uma variável aleatórai e que A e B são eventos em R. As seguintes afirmações trabalham com o conjunto imagem inversa e sua preservação por operações de conjuntos. Prove os resultados:
a) \(\left ( X\in A\cap B \right )=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\)
B) \(1_{A\cup B}=max\left \{ 1_{A} ,1_{B}\right \}\)

Eu confesso que tenho dificuldade nessas demonstrações formais de coisas tão banais
(não digo que não exija demonstração, pois lembro-me da primeira aula de Análise na faculdade o Prof. demorou uma hora para demonstrar que 1=1)

a) Se \(X \in A\cap B\), e o conjunto \(A\cap B\) é a interseção de \(A\) com \(B\), interseção que pela definição inclui sempre obrigatoriamente pelo menos parte (pode incluir todo) do conjunto \(A\) e parte do conjunto \(B\), então \(X \in A\) e \(X \in B\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Olá João, obrigado pela ajuda eu fiz a demonstração do item b e gostaria que você desse uma opinião se faz sentido.
A função \(1_{A}\) é a função caracterisitica de A que recebe um elemento de um espaço amostral ômega\(\Omega\) e devolve 1 caso este elemento pertence a A e 0 caso contrário.
\(1_{A\cup B}=max\left \{ 1_{A} ,1_{B}\left. \right \}\)

Através da definição de Função caracteristica, analisa-se cada uma das funções separadamente com finalidade de verificar a igualdade das condições de existência.
Em \(1_{A\cup B}\)}, consideremos um elemento \(\omega\) \(\in \Omega\), a função será igual a 1 se \(\omega \in A\cup B\) e será igual a 0 se \(\omega \notin A\cup B\). Se \(\omega \in A\) e \(\omega \notin B\), 1A =1 e 1B = 0, logo \(1_{A\cup B}\)=1. Agora, se \(\omega \notin A\) e \(\omega \in B\) , 1A = 0 e 1B=1, logo \(1_{A\cup B}\)=1, portanto, \(1_{A\cup B}\) = 1, se e somente se, \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\).

Em max{1A,1B}, a função assume valores de 0 a 1 e o máximo será 1 se 1A = 1 ou 1B = 1, se 1A = 1 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1 e, se, 1A=0 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1, portanto, max {1a, 1b} =1 se, e somente, se \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\).
Portanto, pode-se concluir que \(1_{A\cup B}\) e max \(\left \{ 1_{A},1_{B} \right \}\) são equivalentes.
Assim, podemos verificar que 1 = 1!

Desde já agradeço!

Também não estou por dentro do assunto, mas não escreva no fim "Assim, podemos verificar que 1 = 1!" porque não foi isso que demonstrou.

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Caro, lamento desiludir, mas teoria dos conjuntos não é o meu forte...

Se alguma alma caridosa quiser ajudar é bem-vinda...

Saudações

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João Pimentel Ferreira
 
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Penso que o problema aqui possa ser uma questão de conceitos e notações.
O que se quer ver é que \(\{\omega : X(\omega)\in A\cap B\}=\{\omega : X(\omega)\in A\}\cap\{\omega : X(\omega)\in B\}\)?
Se sim, nesse caso podemos fazer do seguinte modo:

\(\omega\in \{\omega : X(\omega)\in A\cap B\} \Leftrightarrow X(\omega)\in A\cap B \Leftrightarrow (X(\omega)\in A \mbox{ e } X(\omega)\in B)\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow (\omega\in\{\omega : X(\omega)\in A\} \mbox{ e }\omega\in\{\omega : X(\omega)\in B\})\Leftrightarrow \omega\in \{\omega : X(\omega)\in A\}\cap\{\omega : X(\omega)\in B\}\)

Rui, o que tenho que provar é : \(\left ( X\in A\cap B \right )=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\)
Tenho que provar essa igualdade. Ai, então no final posso colocar não é que então chegamos ao resultado acima, após a sua demonstração não é?
Eu tinha feito o seguinte:
\(\left ( X\in A\cap B \right )= \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega ) \in A\cap B\right \}= \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A e X(\omega )\in B \right \}=\left \{ \omega \in A \right \}e\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in B \right \}=\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A \right \}\cap \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in B \right \}=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\)
Será que posso passar \(\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A \right \}\cap \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega \in B) \right \}\) posso mostrar que é igual a \(\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\)?
Se sim, posso colocar na sua última passagem, acho que a sua demonstração está mais completa!
Muito Obrigado!