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| Autor: | Marco Roberto [ 22 mai 2012, 15:09 ] |
| Título da Pergunta: | Espaços de probabilidade |
Peço uma grande ajuda para provar os resultados abaixo sobre função caracteristica: Assuma que X é uma variável aleatórai e que A e B são eventos em R. As seguintes afirmações trabalham com o conjunto imagem inversa e sua preservação por operações de conjuntos. Prove os resultados: a) \(\left ( X\in A\cap B \right )=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\) B) \(1_{A\cup B}=max\left \{ 1_{A} ,1_{B}\right \}\) |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 23 mai 2012, 11:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
Eu confesso que tenho dificuldade nessas demonstrações formais de coisas tão banais (não digo que não exija demonstração, pois lembro-me da primeira aula de Análise na faculdade o Prof. demorou uma hora para demonstrar que 1=1) a) Se \(X \in A\cap B\), e o conjunto \(A\cap B\) é a interseção de \(A\) com \(B\), interseção que pela definição inclui sempre obrigatoriamente pelo menos parte (pode incluir todo) do conjunto \(A\) e parte do conjunto \(B\), então \(X \in A\) e \(X \in B\) |
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| Autor: | Marco Roberto [ 23 mai 2012, 16:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
João P. Ferreira Escreveu: Eu confesso que tenho dificuldade nessas demonstrações formais de coisas tão banais (não digo que não exija demonstração, pois lembro-me da primeira aula de Análise na faculdade o Prof. demorou uma hora para demonstrar que 1=1) a) Se \(X \in A\cap B\), e o conjunto \(A\cap B\) é a interseção de \(A\) com \(B\), interseção que pela definição inclui sempre obrigatoriamente pelo menos parte (pode incluir todo) do conjunto \(A\) e parte do conjunto \(B\), então \(X \in A\) e \(X \in B\) Olá João, obrigado pela ajuda eu fiz a demonstração do item b e gostaria que você desse uma opinião se faz sentido. A função \(1_{A}\) é a função caracterisitica de A que recebe um elemento de um espaço amostral ômega\(\Omega\) e devolve 1 caso este elemento pertence a A e 0 caso contrário. \(1_{A\cup B}=max\left \{ 1_{A} ,1_{B}\left. \right \}\) Através da definição de Função caracteristica, analisa-se cada uma das funções separadamente com finalidade de verificar a igualdade das condições de existência. Em \(1_{A\cup B}\)}, consideremos um elemento \(\omega\) \(\in \Omega\), a função será igual a 1 se \(\omega \in A\cup B\) e será igual a 0 se \(\omega \notin A\cup B\). Se \(\omega \in A\) e \(\omega \notin B\), 1A =1 e 1B = 0, logo \(1_{A\cup B}\)=1. Agora, se \(\omega \notin A\) e \(\omega \in B\) , 1A = 0 e 1B=1, logo \(1_{A\cup B}\)=1, portanto, \(1_{A\cup B}\) = 1, se e somente se, \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\). Em max{1A,1B}, a função assume valores de 0 a 1 e o máximo será 1 se 1A = 1 ou 1B = 1, se 1A = 1 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1 e, se, 1A=0 e 1B =0, temos max{1A, 1B} = 1, portanto, max {1a, 1b} =1 se, e somente, se \(\omega \in A\) ou \(\omega \in B\). Portanto, pode-se concluir que \(1_{A\cup B}\) e max \(\left \{ 1_{A},1_{B} \right \}\) são equivalentes. Assim, podemos verificar que 1 = 1! Desde já agradeço! |
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| Autor: | josesousa [ 23 mai 2012, 22:48 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
Também não estou por dentro do assunto, mas não escreva no fim "Assim, podemos verificar que 1 = 1!" porque não foi isso que demonstrou. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 24 mai 2012, 00:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
Caro, lamento desiludir, mas teoria dos conjuntos não é o meu forte... Se alguma alma caridosa quiser ajudar é bem-vinda... Saudações |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 24 mai 2012, 15:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
Penso que o problema aqui possa ser uma questão de conceitos e notações. O que se quer ver é que \(\{\omega : X(\omega)\in A\cap B\}=\{\omega : X(\omega)\in A\}\cap\{\omega : X(\omega)\in B\}\)? Se sim, nesse caso podemos fazer do seguinte modo: \(\omega\in \{\omega : X(\omega)\in A\cap B\} \Leftrightarrow X(\omega)\in A\cap B \Leftrightarrow (X(\omega)\in A \mbox{ e } X(\omega)\in B)\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow (\omega\in\{\omega : X(\omega)\in A\} \mbox{ e }\omega\in\{\omega : X(\omega)\in B\})\Leftrightarrow \omega\in \{\omega : X(\omega)\in A\}\cap\{\omega : X(\omega)\in B\}\) |
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| Autor: | Marco Roberto [ 24 mai 2012, 17:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços de probabilidade |
Rui, o que tenho que provar é : \(\left ( X\in A\cap B \right )=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\) Tenho que provar essa igualdade. Ai, então no final posso colocar não é que então chegamos ao resultado acima, após a sua demonstração não é? Eu tinha feito o seguinte: \(\left ( X\in A\cap B \right )= \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega ) \in A\cap B\right \}= \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A e X(\omega )\in B \right \}=\left \{ \omega \in A \right \}e\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in B \right \}=\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A \right \}\cap \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in B \right \}=\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\) Será que posso passar \(\left \{ \omega \in \Omega :X(\omega )\in A \right \}\cap \left \{ \omega \in \Omega :X(\omega \in B) \right \}\) posso mostrar que é igual a \(\left ( X\in A \right )\cap \left ( X\in B \right )\)? Se sim, posso colocar na sua última passagem, acho que a sua demonstração está mais completa! Muito Obrigado! |
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