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| Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=404 |
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| Autor: | Marco Roberto [ 26 mai 2012, 17:10 ] |
| Título da Pergunta: | Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão |
Olá a todos, gostaria de uma grande ajuda para resolver o problema: "Quantos são os múltiplos dos números 2, 3 ou 5 compreendidos no intervalo de 1 até 1000? Dica: usar a fórmula de inclusão-exclusão." |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 27 mai 2012, 02:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Analise combintória e probabilidade |
Boas Seja \(A\) o conjunto dos múltiplos de \(2\) no intervalo \([1,1000]\) Seja \(B\) o conjunto dos múltiplos de \(3\) no intervalo \([1,1000]\) Seja \(C\) o conjunto dos múltiplos de \(5\) no intervalo \([1,1000]\) Seja \(n(X)\) o número de elementos do conjunto \(X\) Recorrendo então ao teorema que referiu para três conjuntos, temos então: \(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\) \(A\) são os múltiplos de 2 nesse interavalo, i.e. \(2, 4, 6, 8, 10, 12...998,1000\) então \(n(A)=\frac{1000}{2}=500\) \(B\) são os múltiplos de 3, \(3,6,9,12,15...996,999\), 1000 não é múltiplo de 3, mas já o é 999, assim fica \(n(B)=\frac{999}{3}=333\) Pelo mesmo raciocínio \(n(C)=\frac{1000}{5}=200\) Agora, quantos são múltiplos de \(2\) e ao mesmo tempo de \(5\)? Aqueles que forem múltiplos de \(2\times 5=10\) Assim \(A\cap C=\left \{ 10,20,30,40,...,990,1000 \right \}\\ n(A\cap C)=\frac{1000}{10}=100\) Pelo mesmo raciocínio \(2 \times 3=6\\ A\cap B=\left \{ 6,12,18,24,...,990,996 \right \}\\ n(A\cap B)=\frac{996}{6}=166\\ \\ \\ 3 \times 5=15\\ B\cap C=\left \{ 15,30,45,60,...,975,990 \right \}\\ n(B\cap C)=\frac{990}{15}=66\\\) Basta por último ver aqueles que são em simultâneo múltiplos de 2,3 e 5 \(2\times 3 \times 5=30 \\ A \cap B \cap C=\left \{30,60,90,...,960,990 \right \}\\ n(A \cap B \cap C)=\frac{990}{30}=33\) Somando tudo recorrendo à fórmula inicial \(n(A\cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B \cap C)\) \(n(A\cup B \cup C)=500+333+200-100-166-66+33=1033-332+33=734\) Saudações |
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| Autor: | Marco Roberto [ 27 mai 2012, 21:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão |
Nossa, João, muito obrigado! Valeu mesmo! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 27 mai 2012, 23:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise combintória, fórmula de inclusão-exclusão |
Sempre às ordens meu caro... Estamos aqui para ajudar Saudações |
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