Olá Marcos
é um problema interessante, o que colocas. Não te dou a absoluta certeza (100%) mas tenho quase a certeza que o valor máximo da função probabilidade (f.p.) de Poisson é atingido em \(X=\lambda\) caso seja inteiro ou em X= valor mais próximo de \(\lambda\). Lembra que \(\lambda\) é o parâmetro de localização da f.p. de Poisson. Mas respondendo à tua questão, haverá sempre um modo de derivar a f.p. da Poisson, que terá necessariamente de passar pelo desenvolvimento de Taylor, e subsequente derivação da função desenvolvida. Experimenta desenvolver em série de Taylor a função exponencial (\(e^{\lambda x}\)), e observa as semelhanças. A partir daí poder-se-á construir o desenvolvimento da função distribuição de Poisson. Mais tarde, responderei melhor à tua questão, depois de estudá-la.
Bom estudo
