"Utilizando o PM" - O que é o PM?

Any way... Repare que um número \(d\) é divisor de \(m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}\) se e só se é da forma \(d=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdots p_n^{\beta_n}\), com \(0\leq \beta_i \leq \alpha_i\) para todo o \(i=1,2,\dots ,n\). Assim o número de divisores de \(n\) é igual ao número de elementos do conjunto:

\(\{(\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_n):0\leq \beta_i \leq \alpha_i \quad,\quad i=1,2,\dots ,n \}=A_1\times A_2\times \cdots \times A_n\)

onde \(A_i=\{0,1,2,\dots,\alpha_i\}\)

Logo o número de divisores de \(n\) é \(|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|=|A_1|\times |A_2|\times \cdots \times |A_n|=(\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_n +1)\).