Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Quantos anagramas existem da palavra AVALIAR em que pelo menos dois A’s ficam juntos?”

Tomemos como exemplo AAVALIR. Considere dois A's como apenas um, daí,

\(\frac{6!}{2!} =\)

\(\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} =\)

\(\fbox{360}\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

se eu interpreto bem o enunciado, para mim a resposta é 5*5!

passando a explicar:

- supondo o caso simples de AAVLIAR em que os dois As estão juntos nas 2 primeiras posições, temos as restantes 5 letras V, L, I, A e R a permutar pelas restantes 5 posições. Ora, repetindo isto para as 6 posições seguintes em que os dois As podem ficar juntos, é fazer 6 vezes permutações de 5. No entanto, o AA estar antes ou depois do outro A resulta na mesma palavra, pelo que temos de retirar uma posição ao AA, ficando portanto (6-1)*permutações de 5.


5*5! = 600 anagramas

Admito que fiquei preocupado com as duas respostas acima. Estava convencido da primeira, porém com o desconforto da incerteza fiz uma nova análise.
Para a palavra "AVALIAR" o número máximo de anagramas com repetição é 7!/3!, ou seja, 840 possibilidades. O objetivo é obter as possibilidades para dois ou três A's. Neste caso bastaria subtrairmos de 840 as possibilidades onde jamais há o encontro entre os A's. Veja abaixo.
(A_A_A_ _)(A_A_ _A_)(A_A_ _ _A)(A_ _A_ _A)(A_ _ _A_A)(_A_ _A_A)(_ _A_A_A) Os traços representam as quatro letras"V,L,I,R".
(A_ _A_A_) (_A_A_ _A)
(_A_ A_A_)
Fui extremamente cuidadoso para não deixar nenhuma possibilidade de fora(corrijam). Para cada uma destas possibilidades temos 4! para "V,L,I,R", ou seja 10*4! que resulta 240 donde 840-240=600[/color] que está de acordo com a segunda solução.
Peço que os colegas mais atentos analisem estas soluções e façam as devidas considerações, corrigindo se necessário sem medo de ser feliz. Agradecido!

Fico com 600, e pensei da mesma forma como você.
Estava preparando uma resolução, mas seria a mesma coisa de dizer o que já foi dito por você.

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Se algum erro houver em minhas resoluções, notificar!
Não se esqueça de fechar a perguntar e agradecer.
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Ciências Econômicas - EPGE/FGV

Bem pareçe que ja responderãó essa sobre AVALIAR, okei mais eu estou aqui para falar sobre anagramas avançados, antes eu vou procurar aqui sobre anagramas avançados e depois eu irei aprezentar o que eu sei sobre anagramas avansados okei.

A resposta 5!.5 faz sentido pra mim, da pra interpreta assim tbm:

se ele quer no minimo 2 A's juntos entao ele quer todas as possibilidades com 2 juntos + 3 juntos.

se vc considerar 2 juntos vc tera por exemplo.

([A,A],X,_,_,_,_) representei por X um campo onde não pode haver A, se eu considerar a possibilidade ([A,A],_,A,_,_,_) teremos 4!.4 arranjos pois o A pode se mover em mais 3 campos pra frente e temos 4 letras pra colocar, as possibilidades seriam.

(X,[A,A],X,A,_,_) = 3.4!

(_,X,[A,A],X,_,_) = 3.4!

(_,_,X,[A,A],X,_) =3.4!

(_,_,_,X,[A,A],X) = 3.4!

(_,_,_,_,X,[A,B]) =4.4!

entao pra duas juntas temos 2(4.4!)+4(3.4!)=480

para 3 juntas o arranjo é dado por 5.4!=120

120+480 = 600