Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! :: Ver Pergunta - Problema de probabilidade ao se lançar um dado

Em relação à probabilidade de obter pelo menos um 6, veja que é a probabilidade de obter exactamente um 6, somada com a probabilidade de obter dois 6's, somada coma probabilidade de obter 3, etc. A probabilidade de obter exactamente um 6 em dez lançamentos é dada por

\(10 \times \frac 16 \times (\frac 56)^9 = 9765625/30233088 \approx 0.323011\)

O primeiro factor (10) aparece porque o 6 pode sair em qualquer um dos dez lançamentos, o factor 1/6 é a probabilidade de sair 6 num lançamento e (5/6)^9 a probabilidade de não sair 6 nos restantes 9.

Se quisermos calcular a probabilidade de obter 6 em exactamente dois lançamentos teremos

\(~^{10} C_2 \times (1/6)^{2} \times (5/6)^8=1953125/6718464 \approx 0.29071\)

Em que \(~^{10} C_2 = 45\) é o número de maneiras de escolher os dois lançamentos em que obtemos 6.

Autor:	claugroi [ 19 fev 2014, 22:54 ]
Título da Pergunta:	Problema de probabilidade ao se lançar um dado [resolvida]
Olá a todos. Esta é minha primeira postagem aqui. Nunca fui um aluno muito bom em matemática e estou com uma dúvida em um problema de probabilidade que eu mesmo me propus. É o seguinte: falo da probabilidade de se tirar um 6 logo na primeira vez que lanço um dado. Matematicamente falando, não há diferença de probabilidade de tirar 6 se jogo só uma vez ou 10, pois em cada jogada a probabilidade será sempre 1 em 6 (deduzindo que o dado não está viciado). Sobre isso, veio-me uma dúvida: se eu jogar esse dado 10 vezes, por que a probabilidade de eu tirar o número 6 PELO MENOS uma vez é maior ??? Se minha vida dependesse de tirar um 6 jogando um dado, eu certamente preferiria ter 10 chances para fazê-lo a uma só. Além disso, posso dizer que a grande sacada aí está em dizer "pelo menos", ou seja, é o "pelo menos uma vez" que muda tudo ? Porque se eu quisesse tirar um 6 em cada uma das 10 jogadas, não mudaria nada, correto ? A probabilidade continuaria 1 em 6 em cada jogada. Se eu digo que quero tirar um 6 em pelo menos um dos 10 arremessos, então eu tenho a vantagem de poder errar 9 vezes; se eu acertar uma que seja, já posso dizer que atingi meu objetivo. Estou certo em dizer isso ? Agradeço desde já !

Autor:	Sobolev [ 20 fev 2014, 10:40 ]
Título da Pergunta:	Re: Problema de probabilidade ao se lançar um dado
Antes de mais, seja benvindo ao forum... Relativamente à sua questão, apenas tem que distinguir a probabilidade de um lançamento isolado (que é 1/6 como refere) da probabilidade de uma sequência de acontecimentos. Como os acontecimentos são independentes as probabilidades devem ser multiplicadas. Por exemplo, a probabilidade de obter 6 em todos os 10 lançamentos seria \(\frac 16 \times \frac 16 \cdots \times \frac 16 = (1/6)^{10} = 1/60466176\). É por isso muitíssimo mais difícil obter 6 em dez lançamentos seguidos, o que é perfeitamente compreensível. Em relação à probabilidade de obter pelo menos um 6, veja que é a probabilidade de obter exactamente um 6, somada com a probabilidade de obter dois 6's, somada coma probabilidade de obter 3, etc. A probabilidade de obter exactamente um 6 em dez lançamentos é dada por \(10 \times \frac 16 \times (\frac 56)^9 = 9765625/30233088 \approx 0.323011\) O primeiro factor (10) aparece porque o 6 pode sair em qualquer um dos dez lançamentos, o factor 1/6 é a probabilidade de sair 6 num lançamento e (5/6)^9 a probabilidade de não sair 6 nos restantes 9. Se quisermos calcular a probabilidade de obter 6 em exactamente dois lançamentos teremos \(~^{10} C_2 \times (1/6)^{2} \times (5/6)^8=1953125/6718464 \approx 0.29071\) Em que \(~^{10} C_2 = 45\) é o número de maneiras de escolher os dois lançamentos em que obtemos 6. Realizando todas estas somas, a probabilidade que pretendemos será \(\sum_{i=1}^{10} ~^{10}C_i \times (1/6)^i \times (5/6)^{10-i}=50700551/60466176 \approx 0.838494\)

Autor:	claugroi [ 20 fev 2014, 18:49 ]
Título da Pergunta:	Re: Problema de probabilidade ao se lançar um dado
Isso significa que posso dizer que a probabilidade de eu tirar um 6 em apenas uma jogada é de aprox. 16%, enquanto de tirar pelo menos um 6 em 10 jogadas é de aproximadamente 84% ?

Autor:	Sobolev [ 20 fev 2014, 22:41 ]
Título da Pergunta:	Re: Problema de probabilidade ao se lançar um dado
Sim, é exactamente isso.

Autor:	claugroi [ 21 fev 2014, 18:53 ]
Título da Pergunta:	Re: Problema de probabilidade ao se lançar um dado
Obrigado, Sobolev. Fiz essa questão porque preciso da resolução matemática para incluir num livro. Posso colocar uma nota de agradecimento com seu nome ? Se sim, precisaria de seu nome real. Se preferir Sobolev, tudo bem, eu coloco assim. Fico no aguardo de sua resposta.

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Problema de probabilidade ao se lançar um dado https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=5186	Página 1 de 1

Autor:	claugroi [ 03 mar 2014, 03:16 ]
Título da Pergunta:	Re: Problema de probabilidade ao se lançar um dado
Olá, Sobolev, ainda aguardo uma resposta. Obrigado.

Autor:	gsrodrigues [ 20 fev 2018, 04:55 ]
Título da Pergunta:	Re: Problem de probabilidade ao se lançar um dado
Sobolev Escreveu: Em relação à probabilidade de obter pelo menos um 6, veja que é a probabilidade de obter exactamente um 6, somada com a probabilidade de obter dois 6's, somada coma probabilidade de obter 3, etc. A probabilidade de obter exactamente um 6 em dez lançamentos é dada por \(10 \times \frac 16 \times (\frac 56)^9 = 9765625/30233088 \approx 0.323011\) O primeiro factor (10) aparece porque o 6 pode sair em qualquer um dos dez lançamentos, o factor 1/6 é a probabilidade de sair 6 num lançamento e (5/6)^9 a probabilidade de não sair 6 nos restantes 9. Se quisermos calcular a probabilidade de obter 6 em exactamente dois lançamentos teremos \(~^{10} C_2 \times (1/6)^{2} \times (5/6)^8=1953125/6718464 \approx 0.29071\) Em que \(~^{10} C_2 = 45\) é o número de maneiras de escolher os dois lançamentos em que obtemos 6. Amigos, Não entendi o 1o termo no segundo exemplo. Não me senti familiarizado com a notação utilizada e também se não entendi a frase "número de maneiras de escolher os lançamentos". Eu entendi que seriam esperados dois lançamentos em que o número seis sairia, mas de que forma aquela notação levaria ao valor 45? Desculpe minha ignorância. Grato pela atenção.

Autor:	PierreQuadrado [ 20 fev 2018, 10:50 ]
Título da Pergunta:	probabilidade ao se lançar um dado
\(~^{10} C_2\) significa combinações de 10 objetos 2 a 2, é normalmente denotado por \(\binom{10}{2}\) e calcula-se como \(\binom{10}{2} = \dfrac{10!}{2! (10-2)!}\) Quando obtemos 2 "6" em dez lançamentos, estes podem sair no 1º e 2º lançamento, ou no 3º e 9º, etc... Por isso temos que contar com todas as configurações em que saem 2 "6", que ó tal número \(\binom{10}{2} = 45\)

Autor:	gsrodrigues [ 20 fev 2018, 14:48 ]
Título da Pergunta:	Re: Problem de probabilidade ao se lançar um dado
Desculpe... Não tinha entendido que era uma combinação. Agora entendi. Obrigado!

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