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São dados objetos de 8 tipos de t1 até t8 - sendo que os objetos de cada tipo são dados em quantidade ilimitada - e em um tabuleiro 8 por 8, dividido em casas:

De quantas maneiras esse tabuleiro pode ser preenchido com estes objetos, de modo que no máximo um objeto de cada tipo ocupe cada casa, sendo que:


(a) nenhuma casa pode ficar vazia?

(b)qualquer casa pode ficar vazia?

Vejamos a questão (a). O importante é determinar o número de configurações para cada casa do tabuleiro, digamos N. Determinado N, o número de configurações total será \(N^{64}\). Para determinar o número de configurações para uma casa apenas temos que somar as combinações possíveis, sendo que podemos ter 1 a 8 espécies em cada casa. Assim,

\(N = \quad ~^{8}\hspace{-2mm}C_1 + ~^{8}\hspace{-2mm}C_2 + \cdots ~^{8}\hspace{-2mm}C_8 = 2^7\)

Portanto o número total de combinações será
\((2^7)^{64} = 2^{448}=7268387242956068905493238078880045343536413606873180602814901991806392881133979233\cdots
26191050713763565560762521606266177933534601628614656\)

Relativamente à questão (b) apenas tem que acrescentar o caso de não existir nenhum tipo... Desse modo o número de configurações é \((2^7+1)^{64}\).