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| Questão de Induçao Finita https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=764 |
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| Autor: | Amanda GP [ 31 ago 2012, 23:35 ] |
| Título da Pergunta: | Questão de Induçao Finita |
Olá, estou precisando de ajuda para resolver essa questão do PIF, como nao encontrei nenhum tópico específico postei aqui. ''Dado um inteiro positivo n, definimos T(n,1) = n e, para todo k≥1, T(n,k+1) = n^T(n,k). Prove que existe c ∊ N tal que, para todo k≥1, T(2010,k)< T(2,k+c). Determine o menor inteiro positivo c com essa propiedade.'' Obrigada! |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 02 set 2012, 13:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Questão de Induçao Finita |
Fazendos a contas temos que: \(T(2,3)=16<T(2010,1)=2010<T(2,4)=2^{16}=65536\) Portanto \(c\) é pelo menos igual a 3. De fato, pode-se mostrar que \(c=3\) serve para todo o \(k\). Ou seja, \(T(2010,k)<T(2,k+3)\) para qualquer natural \(k\). A maneira de fazer tal é mostrar por indução a condição mais forte: \(T(2,k+3)>(\log_2(2010)+1)T(2010,k)\) o que não é difícil. Difícil foi determinar a condição que deve ser demonstrada por indução. Para isso é necessário experimentar um pouco, aperceber que poderá ser necessário para o passo de indução demostrar uma condição mais forte tipo \(T(2,k+3)>\alpha T(2010,k)\) com uma constante \(\alpha\) tal que \(2^{\alpha T(2010,k)}>2010^{T(2010,k)}\times\alpha\) e \(65536<2010\alpha\). Depois é só ver que \(\alpha =\log_2(2010)+1\) está nessas condições. |
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