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| Prova por recurso ao método de indução matemática https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=8475 |
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| Autor: | EREGON [ 11 abr 2015, 16:55 ] |
| Título da Pergunta: | Prova por recurso ao método de indução matemática |
Olá, gostaria de ter a vossa ajuda para resolver este problema: Considere três números naturais a, b, c ∈ {1, 2, . . .} tais que a − b > 0 e c é um divisor de a − b. Por recurso ao método de indução matemática, mostre que c é um divisor de (a^n)-(b^n), n>=1 Obrigado Paulo |
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| Autor: | Fraol [ 11 abr 2015, 23:29 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prova por recurso ao método de indução matemática [resolvida] |
Olá, O caso n=1 é trivial, ou seja: \(a^1-b^1=a-b=c \cdot r, r \in N\) Vamos assumir que vale para \(n=k\), isto é: \(a^k - b^k = c \cdot s, s \in N\). Resta mostrar que vale para \(n=k+1\), isto é: \(a^{k+1} - b^{k+1} = c \cdot t, t \in N\). Vamos fazer alguns algebrismos: \(a^{k+1} - b^{k+1} = aa^{k} - bb^{k}\) \(aa^{k} - bb^{k} = (a-b)a^k+b(a^k-b^k)\) (fatorando em termos de expressões conhecidas no problema) \((a-b)a^k+b(a^k-b^k) = c \cdot r \cdot a^k+b \cdot c \cdot s\) Agora é por \(c\) em evidência e chamar o resto de \(t\): \(c \cdot r \cdot a^k+b \cdot c \cdot s = c \cdot ( r \cdot a^k+b \cdot s) = c \cdot t\) e dessa forma fica provado pelo PIF que ... |
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