Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá,

gostaria de obter uma ajuda neste exercício sem recorrer ao método de Indução.

Obrigado

Pode-se resolver do seguinte modo. Considere a função \(f(x)=(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^k\), temos então que a função g obtida por derivação de f e multiplicação por x satisfaz a identidade \(g(x)=xf'(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}kx^k\). Repetindo o processo temos que \(xg'(x)=xf'(x)+x^2f''(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2x^k\). Tomando x=1, temos que \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=f'(1)+f''(1)\). Como \(f(x)=(x+1)^n\), \(f'(x)=n(x+1)^{n-1}\) e \(f''(x)=n(n-1)(x+1)^{n-2}\), chegamos à igualdade \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n2^{n-2}(2+n-1)=n(n+1)2^{n-2}\).

PS - note que \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=\sum_{k=1}^{n}{n\choose k}k^2\)

Obrigado,

nunca conseguiria lá chegar partindo da derivada

Paulo