Olá,
gostaria de obter uma ajuda neste exercício sem recorrer ao método de Indução.
Obrigado
| Anexos: |
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| Cálculo sem recurso à Indução Matemática https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=8484 |
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| Autor: | EREGON [ 13 abr 2015, 13:42 ] | ||
| Título da Pergunta: | Cálculo sem recurso à Indução Matemática | ||
Olá, gostaria de obter uma ajuda neste exercício sem recorrer ao método de Indução. Obrigado
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| Autor: | Rui Carpentier [ 13 abr 2015, 16:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo sem recurso à Indução Matemática |
Pode-se resolver do seguinte modo. Considere a função \(f(x)=(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}x^k\), temos então que a função g obtida por derivação de f e multiplicação por x satisfaz a identidade \(g(x)=xf'(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}kx^k\). Repetindo o processo temos que \(xg'(x)=xf'(x)+x^2f''(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2x^k\). Tomando x=1, temos que \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=f'(1)+f''(1)\). Como \(f(x)=(x+1)^n\), \(f'(x)=n(x+1)^{n-1}\) e \(f''(x)=n(n-1)(x+1)^{n-2}\), chegamos à igualdade \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=n2^{n-1}+n(n-1)2^{n-2}=n2^{n-2}(2+n-1)=n(n+1)2^{n-2}\). PS - note que \(\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}k^2=\sum_{k=1}^{n}{n\choose k}k^2\) |
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| Autor: | EREGON [ 13 abr 2015, 17:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Cálculo sem recurso à Indução Matemática |
Obrigado, nunca conseguiria lá chegar partindo da derivada  Paulo |
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