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| ( Tema: Análise Combinatória) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=8601 |
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| Autor: | gisellemcarvalho [ 27 abr 2015, 14:41 ] |
| Título da Pergunta: | ( Tema: Análise Combinatória) |
De quantas maneiras n estudantes podem ser divididos em 2 grupos, cada um contendo pelo menos um estudante? |
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| Autor: | Sobolev [ 27 abr 2015, 14:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ( Tema: Análise Combinatória) |
Se n for par a resposta é \(~^n C_1 + ~^n C_2 + \cdots + ~^n C_{n/2} = \sum_{i=1}^{n/2} ~^n C_i\) já se n for impar, \(~^n C_1 + ~^n C_2 + \cdots + ~^n C_{(n-1)/2} = \sum_{i=1}^{(n-1)/2} ~^n C_i\). |
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| Autor: | gisellemcarvalho [ 27 abr 2015, 15:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ( Tema: Análise Combinatória) |
Não estou entendendo o raciocínio, o que seria Ci ? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 27 abr 2015, 18:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: ( Tema: Análise Combinatória) [resolvida] |
gisellemcarvalho Escreveu: Não estou entendendo o raciocínio, o que seria Ci ? Calculo que \(^nC_i\) seja o número de subconjuntos de i elementos de um conjunto de n elementos (que também é conhecido por combinações de \(n\), \(i\) a \(i\) e é usada muitas vezes a notação \({n \choose i}\)). O que o Sobolev está a fazer é identificar uma partição em dois grupo com o grupo mais pequeno, este terá entre 1 elemento e \(n/2\) elementos (caso n seja par) ou \((n-1)/2\) elementos (caso n seja ímpar). Como há \(^nC_i\) grupos de \(i\) elementos no conjunto de \(n\) alunos, segue-se que há \(^nC_i\) partições da turma em dois grupos em que o grupo mais pequeno tem i alunos, seja qual for o i entre 1 e (n-1)/2. No entanto se o i for n/2 (com n par) o número de partições é metade de \(^nC_i\) (pois cada partição pode ser identificada com qualquer dos dois grupos). Logo a resposta é \(~^n C_1 + ~^n C_2 + \cdots + \frac{~^n C_{n/2}}{2} = \sum_{i=1}^{n/2} ~^n C_i\) se n for par \(~^n C_1 + ~^n C_2 + \cdots + ~^n C_{(n-1)/2} = \sum_{i=1}^{(n-1)/2} ~^n C_i\). se n for ímpar. Outro método mais rápido é fixar um estudante e identificar uma partição do conjunto com o grupo a que o estudante pertence, o que equivale a identificar cada partição com um subconjunto dos restantes n-1 estudantes com excepção do conjunto de todos os n-1 alunos. Como num conjunto de n-1 elementos há \(2^{n-1}\) subconjuntos a resposta final será \(2^{n-1}-1\). |
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