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O número de soluções inteiras não-negativas para \(x_1+\cdots +x_k=n\) é dado por \({n+k-1 \choose k-1}\) *.
Assim sendo o número de soluções inteiras não-negativas para x+y+z<7 é \({2 \choose 2}+{3 \choose 2}+{4 \choose 2}+{5 \choose 2}+{6 \choose 2}+{7 \choose 2}+{8 \choose 2}+{9 \choose 2}={10 \choose 3}=120\)**.
* pense que uma solução pode ser identificada univocamente com uma palavra formada por n A's e k-1 B's : \((x_1,\cdots ,x_k) \mapsto A^{x_1}BA^{x_2}B\cdots BA^{x_k}\) (por exemplo (2,0,3,1) corresponderia a AABBAAABA)
** não é difícil mostrar que \(\sum_{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}\).
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