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Boa noite, alguém poderia provar para mim, de maneira formal o seguinte teorema ?

Sejam A e B eventos de probabilidades positivas. Se A interseção B = ∅, então A e B NÃO são independentes.
Grato,

Phelipe.

Dois eventos, A e B, são independentes se \(\large P\left ( A\, \cap \, B \right )=P\left ( A \right )\times P\left ( B \right )\)

Ora \(\large A\, \cap\, B= \phi\, \Rightarrow \, P\left ( A\, \cap \, B \right )=0\)

De acordo com o enunciado então \(\large P\left ( A \right )\, \neq 0\; \; e\; \; P\left ( B \right )\, \neq 0\)

Conclui-se que \(\large P\left ( A \right )\times P\left ( B \right )\, \neq 0\) pelo que \(\large P\left ( A \right )\times P\left ( B \right )\, \neq P\left ( A\, \cap \, B \right )\) ou seja, A e B não são independentes.