Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, me deparei com dois exercícios que eu não sei como resolver. Alguém pode me dar uma lua?

1- Quantos triângulos ficam determinados por 9 pontos distintos, sendo que 5 deles pertencem a uma reta r e os outros 4 a uma reta paralela a r , porém distinta dela?

e esse outro também

2- Uma população consome três mascas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:
MARCA A B C A e B B e C C e A A, B e C Nenhuma
Nº de consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115

Forneça:
a) O numero de pessoas consultadas
b) O numero de pessoas que só consomem a marca A
c) O numero de pessoas que não consomem a marca A e C
d) O numero que pessoas que consomem ao menos duas marcas

Boa noite!

1)
Como tem 5 pontos em uma reta e 4 pontos em outra reta (paralela), para obter triângulos precisará de dois pontos em uma delas e um ponto na outra.
Então:
\(4\cdot\binom{5}{2}+5\cdot\binom{4}{2}=4\cdot 10+5\cdot 6=40+30=70\) triângulos!

Outra forma seria:
A cada 3 pontos tem um triângulo mas, se estes 3 pontos estiverem alinhados ou dentre os 5, ou dentre os 4, não formarão.
Então:
\(\binom{9}{3}-\binom{5}{3}-binom{4}{3}=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{3\cdot 2\cdot 1}-\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}-\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 1}=84-10-4=70\)

2)
\(\begin{array}{l|r}
A & 109\\
B & 203\\
C & 162\\
AB & 25\\
BC & 41\\
AC & 28\\
ABC & 5\\
nenhuma & 115
\end{array}\)

a)
Para encontrar o total de pessoas consultadas pode-se usar a seguinte fórmula:
TOTAL=A+B+C-AB-AC-BC+ABC+nenhuma
TOTAL=109+203+162-25-41-28+5+115=500

b)
A=A-AB-AC+ABC=109-25-41+5=48

c)
Consomem B (somente) ou nenhuma:
B=B-AB-BC+ABC=203-25-28+5=155
155+115=270

d)
Consomem ao menos duas marcas:
AB ou AC ou BC ou ABC =
AB+AC+BC-2(ABC)=25+41+28-2(5)=84

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles