Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! :: Ver Pergunta - Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?

Boa tarde!

Algo interessante para se pensar como é o cálculo são a quantidade de jogos que se ganham quando se aposta mais de 6 números por cartela.

Exemplo:
Se se aposta 10 números e acertam-se 6 você ganha, além do prêmio da sena, 24 quinas e 90 quadras !

Para saber quantas quinas você tem ao jogar 10 números divida em duas partes. Na primeira você tem 6 números que serão combinados de 5 em 5 (as quinas). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há um número correto aqui ainda.
\(\binom{6}{5}\cdot\binom{10-6}{6-5}=\binom{6}{5}\cdot\binom{4}{1}=\frac{6!}{5!(6-5)!}\cdot\frac{4!}{1!(4-1)!}=6\cdot{4}=24\)

Para saber quantas quadras podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 6 números que serão combinados de 4 em 4 (as quadras). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há dois números corretos aqui ainda.
\(\binom{6}{4}\cdot\binom{10-6}{6-4}=\binom{6}{4}\cdot\binom{4}{2}=\frac{6!}{4!(6-4)!}\cdot\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=15\cdot 6=90\)

Consegue tentar calcular este valor?

Outro exemplo:
Aposta-se 10 números e acertam-se 5, você ganha 5 quinas e 50 quadras

Para saber quantas quinas acertando só 5 números podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 5 números que serão combinados de 5 em 5 (as quinas). Do outro lado há ainda 5 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há 1 número ainda aqui ainda.
\(\binom{5}{5}\cdot\binom{10-5}{6-5}=\binom{5}{5}\cdot\binom{5}{1}=1\cdot 5=5\)

Para saber quantas quadras acertando só 5 números podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 5 números que serão combinados de 4 em 4 (as quadras). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há dois números aqui ainda.
\(\binom{5}{4}\cdot\binom{10-5}{6-5}=\binom{5}{4}\cdot\binom{5}{2}=\frac{5!}{4!(5-4)!}\cdot\frac{5!}{2!(5-2)!}=5\cdot\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=5\cdot 10=50\)

E se apostando 10 números acertar 4, não é uma única quadra que se leva, e, sim, 15 quadras!!!

Aqui a conta é similar.
\(\binom{4}{4}\cdot\binom{10-4}{6-4}=\binom{4}{4}\cdot\binom{6}{2}=1\cdot\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15\)

Se não conseguir, me pergunte que te explico como calcular!

Autor:	Alexandra [ 01 nov 2015, 19:06 ]
Título da Pergunta:	Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números? [resolvida]
Eu entendo como calcula-se, por exemplo, a chance de ganhar marcando 6 números: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 605958575655. Não sou muito bom no assunto probabilidade, então a maneira que penso pra chegar nesse resultado é: a chance de escolher o primeiro número corretamente é 6/60, o segundo, 5/59 e assim até finalizar em 1/55. Estava pensando aqui em como calcular a probabilidade para jogos com mais de 6 marcações, por exemplo, 10, mas não consegui chegar num resultado igual ao do site da mega sena. A forma que eu tentei resolver foi fazendo 6!/(60/54!) para acertar os 6 primeiros números, multiplicado por C 54,4 (representando a quantidade de maneiras que se pode escolher os 4 números restantes). Assim meu resultado final seria 6!/(60!/54!) C 54,4 = 316251/50063860, diferente do que é dito no site da sena (1/238399). Então, alguém poderia me ajudar? Onde estou errando no raciocínio?

Autor:	Alexandra [ 01 nov 2015, 19:13 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Bom, por tentativa e erro cheguei à resposta correta: (10!/4!)/(60!/54!), mas não entendi direito.

Autor:	Baltuilhe [ 02 nov 2015, 02:59 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Boa noite, Alexandra! Para calcular pode usar o seguinte raciocínio: Na mega temos 60 números onde serão sorteados 6. Quer marcar 10 números para acertar 6, certo? Então, sua probabilidade será de: Número de casos (total) = \(\binom{60}{6}\) Número de possibilidades = \(\binom{10}{6}\cdot\binom{50}{0}\) Veja que os 10 números podem resultar em 10 números combinados de 6 em 6, e os outros 50 que restarem serão combinados de 0 em 0, pois queremos acertar os 6. Fazendo-se a conta: \(P=\frac{\binom{10}{6}\cdot\binom{50}{0}}{\binom{60}{6}}=\frac{\frac{10!}{6!(10-6)!}\cdot\frac{50!}{0!(50-0)!}}{\frac{60!}{6!(60-6)!}}=\frac{\frac{10!}{4!}}{\frac{60!}{54!}} P=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55}\approx\frac{1}{238399\) Espero ter ajudado!

Autor:	professorhelio [ 03 nov 2015, 22:43 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Alexandra Escreveu: Eu entendo como calcula-se, por exemplo, a chance de ganhar marcando 6 números: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 605958575655. Não sou muito bom no assunto probabilidade, então a maneira que penso pra chegar nesse resultado é: a chance de escolher o primeiro número corretamente é 6/60, o segundo, 5/59 e assim até finalizar em 1/55. Estava pensando aqui em como calcular a probabilidade para jogos com mais de 6 marcações, por exemplo, 10, mas não consegui chegar num resultado igual ao do site da mega sena. A forma que eu tentei resolver foi fazendo 6!/(60/54!) para acertar os 6 primeiros números, multiplicado por C 54,4 (representando a quantidade de maneiras que se pode escolher os 4 números restantes). Assim meu resultado final seria 6!/(60!/54!) C 54,4 = 316251/50063860, diferente do que é dito no site da sena (1/238399). Então, alguém poderia me ajudar? Onde estou errando no raciocínio? Entra no site da caixa, vá em loterias e lá você encontra todas as possibilidades de cálculo. www.caixa.gov.br

Autor:	Alexandra [ 21 nov 2015, 14:48 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Muito obrigado!!! Resolveu a minha dúvida!

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Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=9805	Página 1 de 1

Autor:	Alexandra [ 21 nov 2015, 14:51 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Só mais uma coisa pra eu ter certeza que entendi, nessa parte você diz: "e os outros 50 que restarem serão combinados de 0 em 0, pois queremos acertar os 6." Caso eu quisesse acertar apenas 5, e não 6, eu deveria multiplicar pela combinação de (50,1) ao invés de (50,0)? Caso quisesse 4, multiplicaria por (50,2) e assim seguindo essa lógica?

Autor:	Baltuilhe [ 21 nov 2015, 15:50 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Bom dia! Isso, Alexandra! Se apostasse 10 números e quisesse saber a probabilidade de acertar 5 números dentro dos 6 sorteados seria exatamente o que falou! Número de casos (total) = \(\binom{60}{6}\) Número de possibilidades = \(\binom{10}{5}\cdot\binom{50}{1}\) Veja que os 10 números podem resultar em 10 números combinados de 5 em 5, e os outros 50 que restarem serão combinados de 1 em 1, pois queremos acertar uma quina. Fazendo-se a conta: \(P=\frac{\binom{10}{5}\cdot\binom{50}{1}}{\binom{60}{6}}=\frac{\frac{10!}{5!(10-5)!}\cdot\frac{50!}{1!(50-1)!}}{\frac{60!}{6!(60-6)!}}=\frac{\frac{10!}{5!\cdot 5!}\cdot\frac{50!}{1!\cdot 49!}}{\frac{60!}{6!\cdot 54!}} P=\frac{\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}\cdot\frac{50\cdot 49!}{1\cdot 49!}}{\frac{60\cdot 59\cdot 58\cdot 57\cdot 56\cdot 55\cdot 54!}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 54!}}\approx{\frac{1}{3973}}\) Espero ter ajudado!

Autor:	Baltuilhe [ 21 nov 2015, 18:53 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Boa tarde! Algo interessante para se pensar como é o cálculo são a quantidade de jogos que se ganham quando se aposta mais de 6 números por cartela. Exemplo: Se se aposta 10 números e acertam-se 6 você ganha, além do prêmio da sena, 24 quinas e 90 quadras ! Consegue tentar calcular este valor? Outro exemplo: Aposta-se 10 números e acertam-se 5, você ganha 5 quinas e 50 quadras E se apostando 10 números acertar 4, não é uma única quadra que se leva, e, sim, 15 quadras!!! Se não conseguir, me pergunte que te explico como calcular!

Autor:	Alexandra [ 22 nov 2015, 18:23 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Nossa, interessante. Não sabia dessa, se puder desenvolver o raciocínio eu agradeço. Tentei aqui e não cheguei à resposta.

Autor:	Baltuilhe [ 22 nov 2015, 18:42 ]
Título da Pergunta:	Re: Mega Sena: como calcular as probabilidades de acertar x números marcando x+n números?
Claro, Alexandra! Baltuilhe Escreveu: Boa tarde! Algo interessante para se pensar como é o cálculo são a quantidade de jogos que se ganham quando se aposta mais de 6 números por cartela. Exemplo: Se se aposta 10 números e acertam-se 6 você ganha, além do prêmio da sena, 24 quinas e 90 quadras ! Para saber quantas quinas você tem ao jogar 10 números divida em duas partes. Na primeira você tem 6 números que serão combinados de 5 em 5 (as quinas). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há um número correto aqui ainda. \(\binom{6}{5}\cdot\binom{10-6}{6-5}=\binom{6}{5}\cdot\binom{4}{1}=\frac{6!}{5!(6-5)!}\cdot\frac{4!}{1!(4-1)!}=6\cdot{4}=24\) Para saber quantas quadras podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 6 números que serão combinados de 4 em 4 (as quadras). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há dois números corretos aqui ainda. \(\binom{6}{4}\cdot\binom{10-6}{6-4}=\binom{6}{4}\cdot\binom{4}{2}=\frac{6!}{4!(6-4)!}\cdot\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\cdot\frac{4\cdot 3}{2\cdot 1}=15\cdot 6=90\) Consegue tentar calcular este valor? Outro exemplo: Aposta-se 10 números e acertam-se 5, você ganha 5 quinas e 50 quadras Para saber quantas quinas acertando só 5 números podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 5 números que serão combinados de 5 em 5 (as quinas). Do outro lado há ainda 5 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há 1 número ainda aqui ainda. \(\binom{5}{5}\cdot\binom{10-5}{6-5}=\binom{5}{5}\cdot\binom{5}{1}=1\cdot 5=5\) Para saber quantas quadras acertando só 5 números podemos seguir o mesmo raciocínio. Na primeira você tem 5 números que serão combinados de 4 em 4 (as quadras). Do outro lado há ainda 4 números (já que foram apostados 10 números) e, como você tem 6 números sorteados, há dois números aqui ainda. \(\binom{5}{4}\cdot\binom{10-5}{6-5}=\binom{5}{4}\cdot\binom{5}{2}=\frac{5!}{4!(5-4)!}\cdot\frac{5!}{2!(5-2)!}=5\cdot\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=5\cdot 10=50\) E se apostando 10 números acertar 4, não é uma única quadra que se leva, e, sim, 15 quadras!!! Aqui a conta é similar. \(\binom{4}{4}\cdot\binom{10-4}{6-4}=\binom{4}{4}\cdot\binom{6}{2}=1\cdot\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}=15\) Se não conseguir, me pergunte que te explico como calcular! Taí Se quiser outras probabilidades, procure em http://loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena/ o título Quantidade de prêmios a receber acertando e verifique se suas contas estão funcionando, ok?

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