Números Complexos - Tá dificil!

[danjr5]

Olá. Tudo bem?

Tô passando por aqui pra perguntar se você pode me ajudar com as seguintes questões:

1) Encontre o número complexo \(w\) tal que \(w \cdot \overline{w} + 2(w - \overline{w}) = 5 - 8i\)



2) Calcule o valor da seguinte potência (3 - 3i)^-8

Obs.: ^-8 significa elevado a -8, ok?


Desde já agradeço.

Editado pela última vez por danjr5 em 06 jan 2013, 21:39, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[danjr5]

Olá NiGoRi,
seja bem-vindo!

Consideremos \(\fbox{w = a + bi}\), então:
\(\\ w \cdot \overline{w} = \\\\ (a + bi)(a - bi) = \\\\ a^2 - b^2i^2 = \\\\ a^2 - b^2 \cdot (- 1) = \\\\ a^2 + b^2\)

E,...

\(\\ w - \overline{w} = \\\\ (a + bi) - (a - bi) = \\\\ \cancel{a} + bi - \cancel{a} + bi = \\\\ 2bi\)


Portanto,

\(\\ w \cdot \overline{w} + 2(w - \overline{w}) = 5 - 8i \\\\ a^2 + b^2 + 2 \cdot 2bi = 5 - 8i \\\\ a^2 + b^2 + 4bi = 5 - 8i\)

Da igualdade acima, tiramos o seguinte sistema:

\(\begin{cases} a^2 + b^2 = 5 \\ 4b = - 8 \end{cases}\)

Resolvendo a segunda equação...
\(\\ 4b = - 8 \\\\ b = - \frac{8}{4} \\\\ \fbox{b = - 2}\)

Substituindo o valor de \(b\) na 1ª equação do sistema, temos:
\(\\ a^2 + b^2 = 5\)
\(a^2 + (- 2)^2 = 5\)
\(a^2 + 4 = 5\)
\(\fbox{a = \pm 1}\)

Logo,
\(\fbox{\fbox{\fbox{w = 1 - 2i}}}\) ou \(\fbox{\fbox{\fbox{w = - 1 - 2i}}}\)

Comente qualquer dúvida!

Para a segunda dúvida, abra um outro tópico, pois de acordo com as regras do Fórum "Um exercício por tópico".

Att,

Daniel Ferreira.