Mostre que w^n+(1/w^n)=2cos(n(alfa)) sabendo que |w|=1

[liliana.pereira]

Agradecia que me ajudassem a chegar ao resultado final do seguinte exercício:

Sabendo que w é um número complexo, que |w|=1, (alfa) é o argumento e n pertence a N, mostre que:
w^n + (1/w^n) = 2cos(n(alfa))

Muito obrigada,

Liliana

[João P. Ferreira]

Se escrever o complexo na forma polar fica com \(w=e^{i\alpha}\) pois\(r=|w|=1\) sendo \(\alpha\) o argumento

\(w^n + (1/w^n) = (e^{i\alpha})^n + (1/(e^{i\alpha})^n) = e^{i n\alpha}+e^{-i n\alpha}=2Re(e^{in\alpha})=2 cos(n\alpha)\)

repare que \(e^{i n\alpha}+e^{-i n\alpha}\) é a soma de dois complexos conjugados

[liliana.pereira]

Muito obrigada João Pimentel

[João P. Ferreira]

Muito obrigada João Pimentel

sempre às ordens

aproveite e sempre que possa ajude quem precisa
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a comunidade agradece