Afixos da raiz da equação x³-8=0
08 jul 2013, 19:42
Pergunta nº 4 da prova da EsPCEx de 2012:
A resposta é \(3\sqrt{3}\)
Não faço ideia de como chegou nessa resposta '-' alguém pode me ajudar?
A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação x³-8=0 tem área
igual a:
A resposta é \(3\sqrt{3}\)
Não faço ideia de como chegou nessa resposta '-' alguém pode me ajudar?
Re: Afixos da raiz da equação x³-8=0
09 jul 2013, 00:57
Prezado Rafael,
inicialmente devemos obter as raízes da equação dada.
Devemos saber que \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Segue,
\(x^3 - 8 = \fbox{(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0}\)
Resolvemos então a eq. que possui números complexos, veja:
x^2 + 2x + 4 = 0
\(\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 4\)
\(\Delta = - 12\)
\(\Delta = 12i^2\)
\(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12i^2}}{2}\)
\(x = \frac{- 2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \begin{cases} x' = - 1 + i\sqrt{3} \\\\ x'' = - 1 - i\sqrt{3} \end{cases}\)
Baseando-se na figura abaixo, marque os pontos (afixo) no gráfico e calcule a área.
Caso não consiga, retorne!
inicialmente devemos obter as raízes da equação dada.
Devemos saber que \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Segue,
\(x^3 - 8 = \fbox{(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0}\)
Resolvemos então a eq. que possui números complexos, veja:
x^2 + 2x + 4 = 0
\(\Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot 4\)
\(\Delta = - 12\)
\(\Delta = 12i^2\)
\(x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12i^2}}{2}\)
\(x = \frac{- 2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \begin{cases} x' = - 1 + i\sqrt{3} \\\\ x'' = - 1 - i\sqrt{3} \end{cases}\)
Baseando-se na figura abaixo, marque os pontos (afixo) no gráfico e calcule a área.
- Afix.png (15.2 KiB) Visualizado 3787 vezes
Caso não consiga, retorne!
Re: Afixos da raiz da equação x³-8=0
09 jul 2013, 02:04
Olá, danjr5
não entendo muito essa parte de afixos (não sei nada aliás) mas sei por acaso que i² = -1
logo, pra calcular a área, faço largura x comprimento
\(\left (-1+i\sqrt{3} \right )*\left (-1-i\sqrt{3} \right )\)
\(\left (1 \right )+\left (i\sqrt{3} \right )-\left (i\sqrt{3} \right )-\left (3i^2 \right )\)
\(1+3 = 4\), pois \(i^2 = -1\) e \(-\left (3*\left (-1\right )\right ) = 3\)
aonde estou errando?
não entendo muito essa parte de afixos (não sei nada aliás) mas sei por acaso que i² = -1
logo, pra calcular a área, faço largura x comprimento
\(\left (-1+i\sqrt{3} \right )*\left (-1-i\sqrt{3} \right )\)
\(\left (1 \right )+\left (i\sqrt{3} \right )-\left (i\sqrt{3} \right )-\left (3i^2 \right )\)
\(1+3 = 4\), pois \(i^2 = -1\) e \(-\left (3*\left (-1\right )\right ) = 3\)
aonde estou errando?