Representar Números Complexos no Plano
12 jul 2013, 16:22
Olá a todos. Me deparei com uma questão que não tenho ideia por onde começar. Se alguém puder me explicar como resolvê-la, ficarei agradecido. Obrigado.
Represente no plano os números complexos z tais que:
a) | z - 2 | = 1 b) | z + i | < 4
Represente no plano os números complexos z tais que:
a) | z - 2 | = 1 b) | z + i | < 4
Re: Representar Números Complexos no Plano
12 jul 2013, 18:14
para a letra a é bem simples. O módulo de z-2 tem que ser igual a 1, então z só pode ser 1 e 3: (1,3), uma vez que o módulo de um valor sempre será o mesmo em positivo.
Re: Representar Números Complexos no Plano
13 jul 2013, 00:22
Boa noite,
A ajuda de rafaelgtmbin refere-se a números reais.
No campo dos números complexos os exercícios envolvendo módulos redundam, em geral, em lugares geométricos. Isto é, a solução via de regra envolve um conjunto de pontos no plano.
No caso desse seu problema, anexei uma figura para ilustrar a ideia:
Na figura podemos ver que os pontos \(z_1\) e \(z_2\), distam 1 do ponto (2,0), existem infinitos outros pontos assim, eles estão sobre a linha tracejada em azul que representa uma circunferência de centro (2,0) e raio 1 e eles são a resposta ao item a).
Na figura podemos ver que os pontos \(z_3\) e \(z_4\), distam 4 do ponto -i = -(0,1)=(0,-1), existem infinitos outros pontos assim, eles estão sobre a linha tracejada em vermelho que representa uma circunferência de centro (0,-1) e raio 4. As resposta para o item b) são todos os pontos que estão no interior dessa circunferência pois este item pede os complexos cuja distância a i são menores do que 4.
Vou desenvolver algebricamente o item b) | z + i | < 4:
| z + i | < 4 => | (x+yi) + i | < 4 => | x + (y+1) i | < 4.
O módulo do número complexo x + (y+1) i é \(\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}\)^então a solução para b) é \(\sqrt{x^2 + (y + 1)^2 }< 4 \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 < 16\).
Veja se consegue desenvolver o item a), observe que 2 = 2 + 0.i e que o item pede a relação de igualdade, =.
É isso.
Leocondeuba Escreveu:
Represente no plano os números complexos z tais que:
a) | z - 2 | = 1 b) | z + i | < 4
A ajuda de rafaelgtmbin refere-se a números reais.
No campo dos números complexos os exercícios envolvendo módulos redundam, em geral, em lugares geométricos. Isto é, a solução via de regra envolve um conjunto de pontos no plano.
No caso desse seu problema, anexei uma figura para ilustrar a ideia:
Na figura podemos ver que os pontos \(z_1\) e \(z_2\), distam 1 do ponto (2,0), existem infinitos outros pontos assim, eles estão sobre a linha tracejada em azul que representa uma circunferência de centro (2,0) e raio 1 e eles são a resposta ao item a).
Na figura podemos ver que os pontos \(z_3\) e \(z_4\), distam 4 do ponto -i = -(0,1)=(0,-1), existem infinitos outros pontos assim, eles estão sobre a linha tracejada em vermelho que representa uma circunferência de centro (0,-1) e raio 4. As resposta para o item b) são todos os pontos que estão no interior dessa circunferência pois este item pede os complexos cuja distância a i são menores do que 4.
Vou desenvolver algebricamente o item b) | z + i | < 4:
| z + i | < 4 => | (x+yi) + i | < 4 => | x + (y+1) i | < 4.
O módulo do número complexo x + (y+1) i é \(\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}\)^então a solução para b) é \(\sqrt{x^2 + (y + 1)^2 }< 4 \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 < 16\).
Veja se consegue desenvolver o item a), observe que 2 = 2 + 0.i e que o item pede a relação de igualdade, =.
É isso.
Re: Representar Números Complexos no Plano
13 jul 2013, 01:14
Obrigado a todos pelas respostas. Agora tenho uma noção de como resolver questões desse tipo.