(ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes

[danjr5]

Oi pessoal,

Segue o exercício

Considere

\(16.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\)

Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é?

Bom, após muito tempo conseguir chegar em:

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3=16\)

Tentei 3 opções, todas em vão:
I. Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Cheguei em uma equação com raízes cúbicas, o que ficou muito difícil de avançar.
II. O cubo da soma no termo antecedente e no termo consequente, mas não ajudou em nada.
III. Tentei dividir a razão cúbica por 16, ficando:

\(\left (\frac{1-ix}{1+ix} \right )^{3} \div {16} = 0\)

Grato.

Editado pela última vez por danjr5 em 07 set 2013, 16:13, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[Fraol]

Oi, bom dia.

1) O que ocorreu com o fator 16 do primeiro membro no seu desenvolvimento?

2) Depois disso, será necessário desenvolver os cubos da soma e da diferença.

Com isso já dá deve resolver.

[vestibulando123]

Oi fraol,

Fiz o seguinte

\(16.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\)

\(2^4.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 = \frac{(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4}{2^4}\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}}{2})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{(1-i)(1+i)}}{2})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{(1+i+1-i)(1+i-1+i)}{(1-i)(1+i)}}{2})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{2.2i}{1^2-i^2}}{2})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{2.2i}{2}}{2})^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =i^4\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =i^0\)

\((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =1\)

Foi assim. O que você acha da resolução?

[Fraol]

Beleza,

Até aí tá muito bom. Agora é passar o denominador para o lado direito (multiplicando 1 que dá o próprio denominador) e

2) Depois disso, será necessário desenvolver os cubos da soma e da diferença.

aí dá para achar as raízes e responder o que se pede lá no início.

[vestibulando123]

Veja o término de minha resolução

\((1-ix)^3=(1+ix)^3\)

\(1^3-3.1^2ix+3.1i^2x^2-i^3x^3=1^3+3.1^2.ix+3.1i^2x^2+i^3x^3\)

\(-3.1^2ix-i^3x^3=+3.1^2.ix+i^3x^3\)

\(2i^3x^3+6ix=0\)

\(-2ix^3+6ix=0\)

\(2ix(-x^2+3)=0\)

Pela propriedade do produto nulo

\(2ix=0\)

\(x=\frac{0}{2i}\)

\(x=0\)

e

\((-x^2+3)=0\)

\(x^2=3\)

\(x=\sqrt{3}\)

ou

\(x=-\sqrt{3}\)

Contudo, o exercício pede a soma dos quadrados das raízes da equação. Desculpe-me por esquecer esse detalhe.

\(E=0^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2\)

\(E=3+3\)

\(E=6\)

A resposta está correta de acordo com o gabarito.

Muito obrigado pela ajuda, fraol.

Um grande abraço!