(MACK/SP) Números Complexos

[danjr5]

A solução da equação

\(|z|+z=2+i\)

Fiz o seguinte:

\(\sqrt{a^2+b^2}+a+bi=2+i\)

\(\sqrt{a^2+b^2}=2-a+i-bi\)

\(\sqrt{a^2+b^2}=2-a+(1-b)i\)

\(a^2+b^2=[2-a+(1-b)i]^2\)


Prossegui pelo quadrado do trinômio, mas não consegui chegar em uma solução.

Grato.

Editado pela última vez por danjr5 em 07 set 2013, 16:04, num total de 2 vezes.
Razão: Arrumar Título

[npl]

Caro Vestibulando

Já pensou que adicionando a norma dum número complexo(a+bi) a si próprio, está a somar a norma à sua parte real?
Desta forma pode logo concluir que a parte imaginária de Z é igual a 1i.
Depois para a parte real é só ver que:

\(sqrt{a^2 + 1^2} + a = 2\)

Resolvendo em ordem a "a" encontrará o valor de 3/4 para este.

[vestibulando123]

Oi npl,

Não consegui compreender sua explicação. Teria como mostra-la em cálculos?

Muito obrigado.

[npl]

Caro Vestibulando

A partir de que ponto da minha explicação é que deixa de me acompanhar?

A minha explicação baseia-se no facto de dois números complexos só serem iguais
se as suas partes reais forem iguais e
se as suas partes imaginárias não diferirem uma da outra.

Assim como \(sqrt{a^2 + 1^2}\) dá um resultado real puro(isto é, sem parte imaginária) a única parte imaginária que consegue encontrar na expressão \(|z|+z\) é "bi"! (estou assumir que Z= a+bi).
Logo a parte imaginária de \(2+i\) , isto é, "i",
tem que ser igual a "bi" ! Ou seja, b=1.
A partir daqui julgo que é só seguir a explicação que expus mais acima.
Se ainda não estiver claro diga-me claramente aquilo que não percebe naquilo que escrevi.
Escrever os cálculos todos em Latex dá "muito" trabalho. Só em último recurso.
Cumprimentos,
NPL.

[vestibulando123]

Oi npl,

Estou muito grato pela sua gentileza de ajudar a mim.

Vou estudar suas dicas e resolver o exercício.

Em breve volto dizendo se consegui resolvê-lo ou não.

Novamente, muito obrigado!

Um abraço.