Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
10 set 2013, 00:23
Sejam
\(z=n^2(cos\frac{\pi }{4}+isen\frac{\pi }{4})\)
e
\(w=(cos\frac{\pi }{12}+isen\frac{\pi }{12})\)
em que n é o menor número inteiro positivo tal que
\((1+i)^n \in \mathbb{R}\)
Então a razão z/w é?
Consegui fazer boa parte, mas não consegui prosseguir na solução de n.
Obrigado.
Obs.: cos e sen possuem o mesmo argumento principal(a razão dos senos), mas o LaTeX deu problema!
\(z=n^2(cos\frac{\pi }{4}+isen\frac{\pi }{4})\)
e
\(w=(cos\frac{\pi }{12}+isen\frac{\pi }{12})\)
em que n é o menor número inteiro positivo tal que
\((1+i)^n \in \mathbb{R}\)
Então a razão z/w é?
Consegui fazer boa parte, mas não consegui prosseguir na solução de n.
Obrigado.
Obs.: cos e sen possuem o mesmo argumento principal(a razão dos senos), mas o LaTeX deu problema!
Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
10 set 2013, 15:53
primeira coisa a resolver, qual o menor inteiro positivo que faz \((1+i)^n\) ser real.
\((1+i)^n=(\sqrt{2}e^{j\pi/4})^n\)
\(=\sqrt{2}^n.e^{jn\pi/4}\)
Para ser real, \(e^{jn\pi/4}\)tem de ser real e n tem de ser múltiplo de 4. Logo, n=4 é a solução.
agora, vejamos \(\frac{z}{w}\)
\(\frac{z}{w}=\frac{4^2(cos(\pi/4)+sin(pi/4))}{cos(\pi/12)+sin(\pi/12)}\)
\(\frac{z}{w}=\frac{16e^{j\frac{\pi}{4}}}{e^{j\frac{\pi}{12}}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{4} - j\frac{\pi}{12}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12})}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{6}}\)
\((1+i)^n=(\sqrt{2}e^{j\pi/4})^n\)
\(=\sqrt{2}^n.e^{jn\pi/4}\)
Para ser real, \(e^{jn\pi/4}\)tem de ser real e n tem de ser múltiplo de 4. Logo, n=4 é a solução.
agora, vejamos \(\frac{z}{w}\)
\(\frac{z}{w}=\frac{4^2(cos(\pi/4)+sin(pi/4))}{cos(\pi/12)+sin(\pi/12)}\)
\(\frac{z}{w}=\frac{16e^{j\frac{\pi}{4}}}{e^{j\frac{\pi}{12}}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{4} - j\frac{\pi}{12}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12})}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{6}}\)
Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
10 set 2013, 21:04
Oi josesousa,
Obrigado pela atenção.
Veja a ideia a seguir sobre encontrar o número n
Seja um número complexo k, teremos
\(k=1+1i\)
Colocando os valores no Plano de Argand-Gauss fica como ilustrei.
Calculando o módulo, teremos:
\(|z|=\rho =\sqrt{2}\)
O argumento principal será calculado por relações trigonométricas básicas
\(tg\Theta =\frac{b}{a}=1\)
\(\therefore \Theta =45\)
Então
Para que seja real, necessita-se que
\(isen\Theta =0\)
Como i é raiz de -1, precisamos encontrar um valor que sen seja 0. Este valor é 180º
\(isen45.4=0
[tex]isen180=0\)
Acabamos de encontrar n=4
\((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\)
\((1+i)^4=4(cos180+isen180)\)
\((1+i)^4=4(-1+0)\)
\((1+i)^4=-4\)
Creio que também esteja correto.
Um abraço!
Obrigado pela atenção.
Veja a ideia a seguir sobre encontrar o número n
Seja um número complexo k, teremos
\(k=1+1i\)
Colocando os valores no Plano de Argand-Gauss fica como ilustrei.
Calculando o módulo, teremos:
\(|z|=\rho =\sqrt{2}\)
O argumento principal será calculado por relações trigonométricas básicas
\(tg\Theta =\frac{b}{a}=1\)
\(\therefore \Theta =45\)
Então
Para que seja real, necessita-se que
\(isen\Theta =0\)
Como i é raiz de -1, precisamos encontrar um valor que sen seja 0. Este valor é 180º
\(isen45.4=0
[tex]isen180=0\)
Acabamos de encontrar n=4
\((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\)
\((1+i)^4=4(cos180+isen180)\)
\((1+i)^4=4(-1+0)\)
\((1+i)^4=-4\)
Creio que também esteja correto.
Um abraço!
- Anexos
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Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
10 set 2013, 21:50
vestibulando123 Escreveu:Acabamos de encontrar n=4
\((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\)
\((1+i)^4=4(cos180+isen180)\)
\((1+i)^4=4(-1+0)\)
\((1+i)^4=-4\)
Creio que também esteja correto.
Um abraço!
Sim, está!