Números complexos(ITA-SP)

[vestibulando123]

Seja λ a solução real da equação

\(\sqrt{\lambda +9}+\sqrt{2\lambda +17}=12\)

Então a soma das soluções z, com Re z>0, da equação

\(z^4=\lambda -32\)

Editado pela última vez por vestibulando123 em 19 Oct 2013, 02:16, num total de 1 vez.

[vestibulando123]

Minha visão do exercício

1. Creio que o primeiro passo é eliminar as raízes, para facilitar a resolução do exercício. Vejo que o modo mais fácil para isto é elevar ambos os lados ao quadrado. Logo,

\((\sqrt{\lambda +9}+\sqrt{2\lambda +17})^2=12^2\)

\((\sqrt{\lambda +9})^2+2\sqrt{(\lambda +9)(2\lambda +17)}+(\sqrt{2\lambda +17})^2=12^2\)

\(\lambda +9+2\sqrt{2\lambda ^2+35\lambda +153}+2\lambda +17=144\)

\(3\lambda +26+2\sqrt{2\lambda ^2+35\lambda +153}=144\)

\(2\sqrt{2\lambda ^2+35\lambda +153}=118-3\lambda\)

2. Novamente, eleva-se ambos os membros ao quadrado

\((2\sqrt{2\lambda ^2+35\lambda +153})^2=(118-3\lambda )^2\)

\(4(\sqrt{2\lambda ^2+35\lambda +153})^2=(118-3\lambda )^2\)

\(4(2\lambda ^2+35\lambda +153)=(118-3\lambda )^2\)

\(8\lambda ^2+140\lambda +612=13924-708\lambda +9\lambda ^2\)

λ²-848λ+13312=0
\((a=1;b=-848;c=+13312)\)

3. Encontrar as raízes pela fórmula de Bhaskara

\(\Delta =(-848)^2-4.1.(13312)\)

\(\Delta =719104-53248\)

\(\Delta =665856\)

\(\lambda =\frac{-(-848)\pm \sqrt{665856}}{2}\)

Essa raiz eu encontrei através de calculadora. Alguém sabe me dizer uma regra prática para encontrar raízes de números tão grandes?

\(\lambda =\frac{848\pm 816}{2}\)

\(\lambda _{1}=\frac{848+816}{2}\)

\(\lambda _{1}=\frac{1664}{2}\)

\(\lambda _{1}=832\)

e

\(\lambda _{2}=\frac{848-816}{2}\)

\(\lambda _{2}=\frac{32}{2}\)

\(\lambda _{2}=16\)

4. Substituir o valor de lambda na equação do número complexo z

\(z^4=\lambda -32\)

Para \(\lambda _{1}=832\)

\(z^4=832-32\)

\(z^4=800\)

\(z^=\pm \sqrt[4]{800}\)

\(z^=\pm \sqrt[4]{2^4.2^1.5^2}\)

\(z^=\pm 2\sqrt[4]{2.25}\)

\(z^=\pm 2\sqrt[4]{50}\)

Porém, sendo:

\(z=a+bi\)

Tem-se

\(z=\pm 2\sqrt[4]{50}+0.i\)

Contudo, como a equação é de grau 4, haverão dois valores positivos \(z=+2\sqrt[4]{50}\) e dois valores negativos \(z=-2\sqrt[4]{50}\), os quais são as partes reais do número complexo z. Logo, para \(\lambda _{1}=832\) existem 2 valores em que \(Re>0\)

Para

\(\lambda _{2}=16\)

Tem-se

\(z^4=16-32\)

\(z^4=-16\)

\(z=\pm \sqrt[4]{-16}\)

\(z=\pm \sqrt[4]{16(-1)}\)

\(z=\pm \sqrt[4]{16}\sqrt[4]{-1}\)

Sabendo-se que a unidade imaginária \(i=\sqrt{-1}\)

\(z=\pm \sqrt[4]{2^4}.i\)

\(z=\pm 2.i\)

Existem 4 valores para z, mas todos terão \(Re=0\)

Então, a soma das soluções z, com Re>0 é dada por

\(S=2\sqrt[4]{50}+2\sqrt[4]{50}\)

\(S=4\sqrt[4]{50}\)

Não consigo ver onde errei, já que o resultado é \(S=2\sqrt{2}\)

[vestibulando123]

Preciso de ajuda no exercício pessoal, alguém se habilita?

Creio que as relações trigonométricas de De Moivre podem ser úteis, mas bem a que não tenho domínio(raízes) é a que o exercício pede aplicação.

Alguém poderia me ajudar?

Grato.