equações números complexos
12 jun 2012, 21:00
Boa noite,
Tenho um exercício que estou com dificuldades em resolver. Se me pudessem ajudar agradecia imenso.
Considere a equação \(z^2 - 8z + 25 = 0\). Encontre as soluções da equação e escreva-as na forma trignométrica.
Obrigada
Tenho um exercício que estou com dificuldades em resolver. Se me pudessem ajudar agradecia imenso.
Considere a equação \(z^2 - 8z + 25 = 0\). Encontre as soluções da equação e escreva-as na forma trignométrica.
Obrigada
Editado pela última vez por danjr5 em 13 jun 2012, 02:17, num total de 2 vezes.
Razão: Arrumar Latex
Razão: Arrumar Latex
Re: equações números complexos
13 jun 2012, 02:09
PARTE I:
\(z^2 - 8z + 25 = 0\)
\(\Delta = 64 - 100\)
\(\Delta = - 36\)
\(\Delta = 36 . (- 1)\)
\(\Delta = 36i^2\)
\(z' = \frac{8 + \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 + 6i}{2} ====> z' = 4 + 3i\)
\(z'' = \frac{8 - \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 - 6i}{2} ====> z' = 4 - 3i\)
Mónica,
a primeira parte foi solucionada, ficou alguma dúvida?
PARTE II:
A forma trigonométrica é dada pela fórmula \(z = \rho (cos\theta + isen\theta )\).
\(z' = a + bi ====> z' = 4 + 3i\)
temos,
a = 4
b= 3
\(\rho = \sqrt{a^2 + b^2} ====> \rho = \sqrt{16 + 9} ====> \rho = 5\)
\(cos\theta = \frac{a}{\rho} ======> cos\theta = \frac{4}{5}===> \theta = arccos\frac{4}{5}\)
\(sen\theta = \frac{b}{\rho} ======> sen\theta = \frac{3}{5}===> \theta = arcsen\frac{3}{5}\)
Logo,
\(z = 5[cos(arccos\frac{4}{5}) + isen(arcsen\frac{3}{5})]\)
Mónica,
não resolvi a outra raiz, para que você possa tentar.
Aguardo seu retorno!!
Daniel F.
\(z^2 - 8z + 25 = 0\)
\(\Delta = 64 - 100\)
\(\Delta = - 36\)
\(\Delta = 36 . (- 1)\)
\(\Delta = 36i^2\)
\(z' = \frac{8 + \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 + 6i}{2} ====> z' = 4 + 3i\)
\(z'' = \frac{8 - \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 - 6i}{2} ====> z' = 4 - 3i\)
Mónica,
a primeira parte foi solucionada, ficou alguma dúvida?
PARTE II:
A forma trigonométrica é dada pela fórmula \(z = \rho (cos\theta + isen\theta )\).
\(z' = a + bi ====> z' = 4 + 3i\)
temos,
a = 4
b= 3
\(\rho = \sqrt{a^2 + b^2} ====> \rho = \sqrt{16 + 9} ====> \rho = 5\)
\(cos\theta = \frac{a}{\rho} ======> cos\theta = \frac{4}{5}===> \theta = arccos\frac{4}{5}\)
\(sen\theta = \frac{b}{\rho} ======> sen\theta = \frac{3}{5}===> \theta = arcsen\frac{3}{5}\)
Logo,
\(z = 5[cos(arccos\frac{4}{5}) + isen(arcsen\frac{3}{5})]\)
Mónica,
não resolvi a outra raiz, para que você possa tentar.
Aguardo seu retorno!!
Daniel F.
Re: equações números complexos
13 jun 2012, 15:06
Olá, muito obrigada. Deu-me uma grande ajuda mas eu preciso de exprimir o resultado na forma \(\rho cis\Theta\) e não posso utilizar a máquina calculadora.
Como é que faço para saber o valor de \(\Theta\)???
O resto percebi muito bem, mais uma vez obrigada
Como é que faço para saber o valor de \(\Theta\)???
O resto percebi muito bem, mais uma vez obrigada
Re: equações números complexos
14 jun 2012, 11:44
Repare que \(acos(4/5)=asen(3/5) = \theta\)
Assim, \(\rho = 5, \theta = asen(3/5)\)
Assim, \(\rho = 5, \theta = asen(3/5)\)
Re: equações números complexos
14 jun 2012, 16:56
Obrigada pela ajuda mas agora perdi-me .
Então o resultado final é z = \(\inline 5 cis \left [\alpha \sin \left ( 3/5 \right ) \right ]\)?
Se me pudesse esclarecer melhor agradecia,
Obrigada
.Então o resultado final é z = \(\inline 5 cis \left [\alpha \sin \left ( 3/5 \right ) \right ]\)?
Se me pudesse esclarecer melhor agradecia,
Obrigada
Re: equações números complexos
14 jun 2012, 17:00
Eu não confirmei as contas do outro colega, mas se estão certas, é isso 
Re: equações números complexos
14 jun 2012, 17:02
Ok, conferi rapidamente e assim é.
\(\rho = 5, \theta = asin(\frac{3}{5})\)
\(\rho = 5, \theta = asin(\frac{3}{5})\)
Re: equações números complexos
26 jun 2012, 19:22
Boa tarde!
Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\).
Cumprimentos!
Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\).
Cumprimentos!
Re: equações números complexos
26 jun 2012, 22:20
Rubik Escreveu:Boa tarde!
Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\).
Cumprimentos!
Boa noite!
(...)
\(\Delta = - 36\)
\(\Delta = + 36 . (- 1)\)
Temos que:
i^0 = 1
\(i^1 = i\)
\(i^2 = - 1\)
\(i^3 = - i\)
Com isso, podemos substituir \(- 1\) por \(i^2\), afim de extrair a raiz de delta, veja:
\(\Delta = + 36 . i^2\)
\(\Delta = + 36i^2\)
Re: equações números complexos
26 jun 2012, 23:17
Boa noite, a minha dúvida é esse "delta", ser igual a 36. Onde foi buscar esse 36?
No enunciado só vejo a equação. Provavelmente estará algo a passar-me ao lado.
No enunciado só vejo a equação. Provavelmente estará algo a passar-me ao lado.