Determinar a de modo que seja um imaginário puro

[fff]

Seja \(z=cis(\theta )\) um número complexo. Determina \(\theta\) de modo que \(\frac{z^4}{i}\) seja um imaginário puro.
R: \(\theta =\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{4}\)

Eu comecei por fazer assim:

\(\frac{cis 4\theta }{cis\frac{\pi}{2} }=cis(4\theta-\frac{\pi }{2} )\)
A partir daqui já não consegui fazer.

[João P. Ferreira]

dica importante, esqueça essa notação de complexos que se usa no secundário em Portugal, nunca percebi porque se usa, use a de Euler que é muito mais prática para contas, até porque se for para a universidade essa notação desaparece

\(z=e^{\theta i}\)

lembre-se que \(i=e^{\pi/2 i}\)

ora

\(\frac{z^4}{i}=\frac{(e^{\theta i})^4}{i}=\frac{e^{4\theta i}}{e^{\pi/2 i}}=e^{(4\theta-\pi/2)i}\)

consegue avançar?

[fff]

Pois, mas num teste não posso utilizar essa fórmula Não consegue fazer utilizando as regras do secundário?

[João P. Ferreira]

o princípio é o mesmo, ou seja achar \(z^4\) é multiplicar o ângulo por 4 ou seja ficar com \(4\theta\)

\(i=cis(\pi/2)\)

a divisão é subtrair os ângulos, logo \(4\theta-\pi/2\) tem de estar ao longo do eixo imaginário, ou seja

\(4\theta-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(4\theta=\pi(1+k)\)

como \(k\in Z\)

é o mesmo que

\(4\theta=k\pi\)

ou \(\theta=\frac{k}{4}, \ k\in Z\)