Encontrar valor de ângulo numa equação de complexos

[emsbp]

Boa tarde.
É pedido para encontrar os valores de \(\beta\), do complexo \(z=3cis(\beta -\frac{\pi }{3})\), de modo que pertença ao intervalo \(\left [ -\pi ;\pi \right ]\), para que \(z=-3cis(\frac{5\pi }{6})\).
Ora, sei que para dois complexos serem iguais, \(\rho\) terá de ser igual, mas neste caso temos -3 e 3, e os ângulos também têm de ser iguais com um período de 2\(\pi\).
Como faço para termos o mesmo \(\rho\)
?
Obrigado!

[João P. Ferreira]

Boas

Queres então achar \(\beta\) tal que

\(3cis\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=-3cis\left(\frac{5\pi }{6}\right\)\)

Repara que

\(-1=cis\left(-\pi\right\)\)

então repara que

\(3cis\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=-1 \times 3cis\left(\frac{5\pi }{6}\right\)\)

\(3cis\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=cis\left(-\pi\right\) \times 3cis\left(\frac{5\pi }{6}\right\)\)

\(3cis\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=3.cis\left(-\pi\right\).cis\left(\frac{5\pi }{6}\right\)\)

\(3cis\left(\beta -\frac{\pi }{3}\right)=3.cis\left(-\pi+\frac{5\pi}{6}\right\)\)

\(\beta -\frac{\pi }{3}= -\pi+\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \ k \in \mathb{Z} \ \wedge \ \beta -\frac{\pi }{3}\in [-\pi, \pi]\)

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