Demonstração

[clarinha]

Coloquei esta pergunta também em geometria analítica. Será que alguém poderia me ajudar?


Considere o plano complexo e mostre que a equação de uma circunferência com centro em \(z_{0}=x_{0}+y_{0}i\) e raio r é definida pelo conjunto \(C= { z=x+yi\epsilon C/ | z-z_{0}=r |}\)

Obrigada!

[Rui Carpentier]

É só questão de ter em atenção a expressão que define o módulo de um número complexo:
\(|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}\),

Assim, a expressão \(|z-z_0|=r\) é equivalente à expressão \(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r\) que por sua vez equivale à equação cartesiana da circunferência \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\) de raio \(r\) e centro em \((x_0,y_0)\) (ou \(z_0=x_0+y_0 i\)).

[clarinha]

É só questão de ter em atenção a expressão que define o módulo de um número complexo:
\(|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}\),

Assim, a expressão \(|z-z_0|=r\) é equivalente à expressão \(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r\) que por sua vez equivale à equação cartesiana da circunferência \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\) de raio \(r\) e centro em \((x_0,y_0)\) (ou \(z_0=x_0+y_0 i\)).

Muito Obrigada!