Fórum de Matemática
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Z= Z1/Z2 = -3-3i/-1-√3i

Obs: A raiz esta cobrindo (3i)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{-3-3i}{-1-\sqrt{3i}\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{-3-3i}{-1-\sqrt{3i}\) . \(\frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{-3-3i}{-1-\sqrt{3i}\) . \(\frac{-1+\sqrt{3i}}{-1+\sqrt{3i}}\)

\(\frac{z_1}{z_2} = \frac{(-3+3\sqrt{3})-(-3+3\sqrt{3})i}{2}\)

\(z = \frac{-3.(1-\sqrt{3}-i+\sqrt{3}i)}{2}\)

\(z = -3.[cos (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) - i.sen.(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})]\)

\(z = -3.(cos.\frac{\pi}{6} - i.sen.\frac{5\pi}{6})\)

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Vivemos em um mundo onde toda informação é falsa até que se prove o contrário.
A Verdade está a caminho.

Nick,

Tem a certeza que a raiz quadrada abrange a expressão 3i? É a que a função raiz quadrada não está univocamente definida no plano complexo.

\(\sqrt{3i} = \sqrt{3} \sqrt{e^{i\pi/2}} = \sqrt{3} e^{i\frac{(\pi/2+2k\pi)}{2}}, \quad k = 0,1\)

Assim as raizes quadradas de 3i são os complexos de módulo \(\sqrt{3}\) e argumento \(\pi/4\) ou \(5\pi/4\). O cálculo de z1/z2 daria portanto duas alternativas...

Se a raiz não abranger (3i), que é o mais provável, o mais fácil é escrever ambos os complexos na forma trigonométrica:

\(z = \frac{-3-3i}{-1-\sqrt{3} i} = \frac{3 e^{i \frac{5\pi}{4}}}{1 \cdot e^{\frac{2 \pi}{3}}}=3 e^{i (\frac{5\pi}{4}-\frac{2 \pi}{3})}=3 e^{i \frac{3 \pi}{12}}=3 e^{i \frac{\pi}{4}}\)