Olá
Petras!!
petras Escreveu:
Alguém poderia ajudar nesta questão? Desde já fico grato.
Sejam \(a_{n}\) e \(b_{n}\) números reais com n = 1, 2, ...,6.
Os números complexos \(z_{n} = a_{n} +ib_{n}\) são tais que \(|z_{n}| = 2\) e \(b_{n} \geq 0\) para todo n=1,2,...,6.
Se (a1, a2,...,a6) é uma progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então \(z_{3}\) é igual a: R(8/5 + 6i/5)
De início, encontremos \(a_3\), veja:
\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)
\(9 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2}\)
\(a_1 + a_6 = 3\)
\(a_1 + (a_1 + 5r) = 3\)
\(2a_1 + 5 \cdot \left ( - \frac{1}{5} \right ) = 3\)
\(2a_1 - {1} = {3}\)
\(\fbox{a_1 = 2}\)
Com efeito,
\(a_3 = a_1 + 2r\)
\(a_3 = 2 + 2 \cdot \left ( - \frac{1}{5} \right )\)
\(a_3 = 2 - \frac{2}{5}\)
\(\boxed{\boxed{a_3 = \frac{8}{5}}}\)
Por conseguinte, encontramos \(b_n\). Segue,
\(|Z_n| = 2\)
\(|a_n + i \cdot b_n| = 2\)
\(\sqrt{(a_n)^2 + (b_n)^2} = 2\)
\(\sqrt{(a_3)^2 + (b_3)^2} = 2\)
\((a_3)^2 + (b_3)^2 = 4\)
\(\left ( \frac{8}{5} \right )^2 + (b_3)^2 = 4\)
\((b_3)^2 = 4 - \frac{64}{25}\)
\((b_3)^2 = \frac{36}{25}\)
\(b_3 = \pm \frac{6}{5}\)
Mas, \(b_n \geq 0\). Daí, \(\boxed{\boxed{b_n = + \frac{6}{5}}}\).
Espero ter ajudado!!
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