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| Número complexo com Progressão Aritmética https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=11983 |
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| Autor: | petras [ 06 nov 2016, 16:32 ] |
| Título da Pergunta: | Número complexo com Progressão Aritmética |
Alguém poderia ajudar nesta questão? Desde já fico grato. Sejam \(a_{n}\) e \(b_{n}\) números reais com n = 1, 2, ...,6. Os números complexos \(z_{n} = a_{n} +ib_{n}\) são tais que \(|z_{n}| = 2\) e \(b_{n} \geq 0\) para todo n=1,2,...,6. Se (a1, a2,...,a6) é uma progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então \(z_{3}\) é igual a: R(8/5 + 6i/5) |
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| Autor: | danjr5 [ 07 nov 2016, 02:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Número complexo com Progressão Aritmética [resolvida] |
Olá Petras!! petras Escreveu: Alguém poderia ajudar nesta questão? Desde já fico grato. Sejam \(a_{n}\) e \(b_{n}\) números reais com n = 1, 2, ...,6. Os números complexos \(z_{n} = a_{n} +ib_{n}\) são tais que \(|z_{n}| = 2\) e \(b_{n} \geq 0\) para todo n=1,2,...,6. Se (a1, a2,...,a6) é uma progressão aritmética de razão -1/5 e soma 9, então \(z_{3}\) é igual a: R(8/5 + 6i/5) De início, encontremos \(a_3\), veja: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\) \(9 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2}\) \(a_1 + a_6 = 3\) \(a_1 + (a_1 + 5r) = 3\) \(2a_1 + 5 \cdot \left ( - \frac{1}{5} \right ) = 3\) \(2a_1 - {1} = {3}\) \(\fbox{a_1 = 2}\) Com efeito, \(a_3 = a_1 + 2r\) \(a_3 = 2 + 2 \cdot \left ( - \frac{1}{5} \right )\) \(a_3 = 2 - \frac{2}{5}\) \(\boxed{\boxed{a_3 = \frac{8}{5}}}\) Por conseguinte, encontramos \(b_n\). Segue, \(|Z_n| = 2\) \(|a_n + i \cdot b_n| = 2\) \(\sqrt{(a_n)^2 + (b_n)^2} = 2\) \(\sqrt{(a_3)^2 + (b_3)^2} = 2\) \((a_3)^2 + (b_3)^2 = 4\) \(\left ( \frac{8}{5} \right )^2 + (b_3)^2 = 4\) \((b_3)^2 = 4 - \frac{64}{25}\) \((b_3)^2 = \frac{36}{25}\) \(b_3 = \pm \frac{6}{5}\) Mas, \(b_n \geq 0\). Daí, \(\boxed{\boxed{b_n = + \frac{6}{5}}}\). Espero ter ajudado!! |
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