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| Pequena questão sobre números complexos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=1297 |
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| Autor: | Sylvais [ 01 jan 2013, 01:27 ] |
| Título da Pergunta: | Pequena questão sobre números complexos |
Olá, Me ajudem a resolver esta questão, por favor: Se \((x+y*i)*(2-i)=20\), então x+y vale _____ Muito obrigado. |
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| Autor: | danjr5 [ 01 jan 2013, 13:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pequena questão sobre números complexos |
Sylvais, seja bem-vindo! \((x + yi)(2 - i) = 20\) Aplicando distributiva... \(2x - xi + 2yi - yi^2 = 20\) \(2x - xi + 2yi - y \cdot (- 1) = 20\) \(2x - xi + 2yi + y = 20\) Separando a parte real e a parte imaginária... \((2x + y) + (- x + 2y)i = 20\) Montemos um sistema... \(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - x + 2y = 0 \,\,\,\,\,\, \times (2 \end{cases}\) \(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ - 2x + 4y = 0 \end{cases}\) \(2x - 2x + y + 4y = 20 + 0\) \(5y = 20\) \(\fbox{y = 4}\) Da segunda equação do sistema, tiramos... \(\\ - x + 2y = 0 \\\\ x = 2y \\\\ x = 2 \cdot 4 \\\\ \fbox{x = 8}\) Logo, \(\fbox{\fbox{x + y = 12}}\) Espero ter ajudado e tenha um bom ano. Daniel Ferreira |
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| Autor: | santhiago [ 01 jan 2013, 14:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pequena questão sobre números complexos |
Bom dia . Dados números complexos \(Z_1 = x + yi ; Re(Z_1) = x , Im(Z_1) = y\) e \(Z_2 = 2 -i ; Re(Z_2) = 2 , Im(Z_2) = -1\) . Temos , \(Z_1 \cdot Z_2 = (x+yi)(2-i) = 2x + 2yi -xi -(yi)i = 2x + 2yi - xi + y = (2x + y ) +(2y-x)i\) . Note que o produto \(Z_1 \cdot Z_2\) gerou um outro número complexo que vamos denotar por \(Z_3\) . Onde : \(Re(Z_3) = 2x + y\) e \(Im(Z_3) = 2y -x\) . Assim segue que , \(Z_3 = 20 = 20 + 0 \cdot i\) . A conclusão é que esta igualdade sera verdadeira sse (\(\iff\) ) \(\begin{cases} 2x + y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} \sim 2 L_2 + L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} 5y = 20 \\ 2y - x = 0 \end{cases} 1/5 L_1 \rightarrow L_1 \begin{cases} \sim \begin{cases} + y = 4 \\ 8 - x = 0 \end{cases}\) cujo o conjunto solução é \(\{4,8\}\) . Verificando a solução \((8 +4i)(2-i) = 16 - 8i + 8i + 4i(-i) = 16 + 0 - 4(i^2) = 16 + -4(-1) = 16 + 4 = 20\) . OK! Logo , \(x +y = 12\) . Espero que ajude . Editado : desculpe .Quando comecei formular a resposta , este tópico estava sem a resposta . |
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| Autor: | danjr5 [ 01 jan 2013, 15:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pequena questão sobre números complexos |
Prezado Santhiago, não precisa se desculpar, colaborações construtivas são sempre bem-vindas. Até logo! |
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| Autor: | Sylvais [ 01 jan 2013, 17:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pequena questão sobre números complexos |
Muito obrigado, Daniel Ferreira e Santhiago. Bom 2013! |
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| Autor: | danjr5 [ 01 jan 2013, 18:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Pequena questão sobre números complexos |
Não há de quê, meu caro! |
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