Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Caros amigos,

Na verdade não consigo avançar, então fico grato a quem ajude a perceber o exercício.

Exercício:
Num plano ortogonal (0, u, v), tomamos em conta os pontos A, B, C, dois em dois distintamente, no qual as suas representações respetivas são os números complexos a, b, c.

1) M é um ponto do afixo do número complexo Z no plano ortogonal, exprime em função de Z:

a) O afixo Z’ do ponto M’ imagem de M pela rotação do centro A e do angulo com a medida + π/3 (em radiano);

b) O afixo Z” do ponto M” imagem de M pela rotação do centro A e do angulo com a medida – π/3 (em radiano).

2) O que podemos dizer do triângulo ABC se os numeros complexos a, b, c, verifica:

\(a) \frac{c-a}{b-a} = \cos\frac{\Pi}{3} + i\sin\frac{\Pi}{3}\)

\(b) \frac{c-a}{b-a} = \cos\frac{\Pi}{3} -i\sin\frac{\Pi}{3}\)

Desde já agradeço aos que tentarem sanar esta minha incompreensão.

Eu tenho mais trabalho a interpretar o que vocês colocam aqui, do que a resolver os exercícios...

O que é "o afixo Z’ do ponto M’ imagem de M"

Pelo que vi aqui afixo ou imagem são a mesma coisa...

Será então a imagem da imagem, ou tenho aqui conceitos a mais???

Fazer rotações em complexo é fácil, é só multiplicar o número \(z\) por \(e^{i\theta}\)

Ou seja fazer a rotação de \(z\), \(\frac{\pi}{3}\) radianos, fica então \(z.e^{i\frac{\pi}{3}}\)


em relação à pergunta 2) repare que \(\cos{\frac{\pi}{3}} +i.\sin{\frac{\pi}{3}}=e^{i\frac{\pi}{3}}\).

Repare ainda que dividir dois complexos é dividir os módulos e subtrair os ângulos. Ou seja, as arestas \(c-a\) e \(b-a\) têm o mesmo comprimento e têm \(\frac{\pi}{3}\) radianos entre elas

Significa então que o triângulo tem dois lados iguais e que um desses ângulos é 60º, ou seja neste caso, significa que o triângulo é equilátero.

Cumprimentos, volte sempre

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Boa noite Ilustre,

Muito obrigado pela excelente tarefa que nos brinda através deste forum de forma exemplar e com muito mérito.

Enquanto ao meu exercício, é verdade que tenho dificuldades em descrever correctamente os meus exercícios tudo isso devido a diferença linguística presente mas para mim é um desafio...

Achei pertinente dizer algo sobre a tua pronta resposta referente a minha questão lançada ontem no forum. Embora que o exercício me parece difícil mas estou com coragem de estudar os teus conselhos para resolução do exercício e voltarei assim que é possível.

Obrigadíssimo mais uma vez e ate logo.

Seja sempre bem-vindo meu caro...

Coloque as questões que quiser, que sempre que pudermos responder-lhe-emos.

Um bem haja e um abraço fraterno.

Saudações pitagóricas

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João Pimentel Ferreira
 
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Boas,

Antes, gostaria de vos informar que enunciado original deste exercício é feito na base da língua francesa.

Tenho feito o seguinte raciocínio no presente exercício no qual gostaria de contar com os vossos pareceres perante os passos a seguir:

I) Para iniciar a resolução, fiz a seguinte representação gráfica
II) Tomei em conta os seguintes elementos na base dos dados do exercicio.

Sinto dificuldades em posicionar os pontos AB, BC e CA e também os números complexos mencionados a, b, c.

Sobre o exercício 1-a)

Foi dito que:
M(Z) e M’(Z). M’ imagem de M, isso é levando em conta a rotação em torno do centro A e do angulo em radiano \(+ \frac{\pi }{3}\)

A interpretação geométrica da \(Z\mapsto e{^i^\alpha}\cdot Z\) (rotação do centro 0 do angulo \(+\frac{\pi}{3}\))

Significa que: \(Z' = Ze{^i^{\frac{\pi}{3}}\)

Mas não consigo posicionar no grafico a rotação em torno do centro A.

Suponho que normalmente podemos obter o seguinte:

\(\mid\)Z’\(\mid=\mid e{^i^{\frac{\pi }{3}}\) \(\cdot\) Z \(\mid = \mid\) Z \(\mid\) arg Z’ = \(\frac{\pi }{3} + arg(Z)\)

(OI, OM’) = \(\frac{\pi}{3}\) + (OI,OM)

Ou poderá ser: (AI, AM’)= \(\frac{\pi}{3}\) + (AI,AM) no caso que consideremos a rotação em torno do centro A?

Em todo caso, a minha dúvida se acentua na posição dos pontos A,B, C e números complexos a, b, e c.

Agradeço uma ajuda.




Redacção do exercício na língua francesa:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (0,u, v), on considère les points A, B, C deux à deux distincts dont les affixes respectives sont les nombres complexes a, b, c.

1°) M étant le point du plan d'affixe le nombre complexe Z, exprimer, en fonction de Z:

a) l'affixe Z' du point M' image de M par la rotation de centre A et d'angle de mesure \(+\frac{\pi}{3}\) (en radians);

b) l'affixe Z" du point M" image de M par rotation de centre A et d'angle de mesure \(-\frac{\pi}{3}\) (en radians)

2°) Que peut-on dire du triangle ABC si les nombres complexes a, b, c vérifient:

a) \(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\)

\(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\)

3°) Etablir que le triangle ABC est un triangle équilatéral si et seulment si:

\(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca^\)

Redacção do exercício na língua francesa:

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (0,u, v), on considère les points A, B, C deux à deux distincts dont les affixes respectives sont les nombres complexes a, b, c.

1°) M étant le point du plan d'affixe le nombre complexe Z, exprimer, en fonction de Z:

a) l'affixe Z' du point M' image de M par la rotation de centre A et d'angle de mesure \(+\frac{\pi}{3}\) (en radians);

Res 1)a) \(z' - a = (z - a)^i^{\frac{\pi}{3}}\)

b) l'affixe Z" du point M" image de M par rotation de centre A et d'angle de mesure \(-\frac{\pi}{3}\) (en radians)

Res 1)b) \(z' - a = (z - a)^-^{i}^{\frac{\pi}{3}}\)

2°) Que peut-on dire du triangle ABC si les nombres complexes a, b, c vérifient:

a) \(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\)

\(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\)

3°) Etablir que le triangle ABC est un triangle équilatéral si et seulment si:

\(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca^\)[/quote]

Meu caro, posso estar a ver mal a coisa, mas fazer a rotação do centro A (ou seja fazer a rotação através da "ponta" do vector que é definido pelo complexo) é a mesma coisa que fazer a rotação do centro zero, do simétrico do complexo. Ou seja:

Rotação do centro zero

\(Z \rightarrow Ze^{i\theta}\)

Rotação do centro A, ou seja, da "ponta" do vetor definido por Z (A é o ponto na "ponta" do vetor)

\(Z \rightarrow -Ze^{i\theta}\)

Parece-me ser isto...

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João Pimentel Ferreira
 
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Para responder à última pergunta é preciso desenvolver

\(|a-b|=|b-c|=|c-a|\)

mas confesso que não estou a conseguir chegar lá

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A tua ajuda alimentou a minha continuidade para encontrar o resultado final deste exercício, mas confesso o tamanho de trabalho que fui obrigado...

Infelizmente não vou poder continuar na perseguição dos restos de resultado.

Mas, publicarei os resultados corregidos assim que é possível.

Como sempre, é um privilegio contar com o este FORUM

Saudações.

É sempre um prazer poder ajudar os outros a resolverem os seus problemas matemáticos meu caro.

Volte sempre

Saudações pitagóricas

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