Boas,
Antes, gostaria de vos informar que enunciado original deste exercício é feito na base da língua francesa.
Tenho feito o seguinte raciocínio no presente exercício no qual gostaria de contar com os vossos pareceres perante os passos a seguir:
I) Para iniciar a resolução, fiz a seguinte representação gráfica
II) Tomei em conta os seguintes elementos na base dos dados do exercicio.
Sinto dificuldades em posicionar os pontos AB, BC e CA e também os números complexos mencionados a, b, c.
Sobre o exercício 1-a)
Foi dito que:
M(Z) e M’(Z). M’ imagem de M, isso é levando em conta a rotação em torno do centro A e do angulo em radiano \(+ \frac{\pi }{3}\)
A interpretação geométrica da \(Z\mapsto e{^i^\alpha}\cdot Z\) (rotação do centro 0 do angulo \(+\frac{\pi}{3}\))
Significa que: \(Z' = Ze{^i^{\frac{\pi}{3}}\)
Mas não consigo posicionar no grafico a rotação em torno do centro A.
Suponho que normalmente podemos obter o seguinte:
\(\mid\)Z’\(\mid=\mid e{^i^{\frac{\pi }{3}}\) \(\cdot\) Z \(\mid = \mid\) Z \(\mid\) arg Z’ = \(\frac{\pi }{3} + arg(Z)\)
(OI, OM’) = \(\frac{\pi}{3}\) + (OI,OM)
Ou poderá ser: (AI, AM’)= \(\frac{\pi}{3}\) + (AI,AM) no caso que consideremos a rotação em torno do centro A?
Em todo caso, a minha dúvida se acentua na posição dos pontos A,B, C e números complexos a, b, e c.
Agradeço uma ajuda.
Redacção do exercício na língua francesa:
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (0,u, v), on considère les points A, B, C deux à deux distincts dont les affixes respectives sont les nombres complexes a, b, c.
1°) M étant le point du plan d'affixe le nombre complexe Z, exprimer, en fonction de Z:
a) l'affixe Z' du point M' image de M par la rotation de centre A et d'angle de mesure \(+\frac{\pi}{3}\) (en radians);
b) l'affixe Z" du point M" image de M par rotation de centre A et d'angle de mesure \(-\frac{\pi}{3}\) (en radians)
2°) Que peut-on dire du triangle ABC si les nombres complexes a, b, c vérifient:
a) \(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{c-a}{b-a}=\cos\frac{\pi}{3}-\sin\frac{\pi}{3}\)
3°) Etablir que le triangle ABC est un triangle équilatéral si et seulment si:
\(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca^\)
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