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| Números Complexos - Tá dificil! https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=1510 |
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| Autor: | NiGoRi [ 06 jan 2013, 20:55 ] |
| Título da Pergunta: | Números Complexos - Tá dificil! |
Olá. Tudo bem? Tô passando por aqui pra perguntar se você pode me ajudar com as seguintes questões: 1) Encontre o número complexo \(w\) tal que \(w \cdot \overline{w} + 2(w - \overline{w}) = 5 - 8i\) 2) Calcule o valor da seguinte potência (3 - 3i)^-8 Obs.: ^-8 significa elevado a -8, ok? Desde já agradeço. |
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| Autor: | danjr5 [ 06 jan 2013, 21:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Números Complexos - Tá dificil! |
Olá NiGoRi, seja bem-vindo! Consideremos \(\fbox{w = a + bi}\), então: \(\\ w \cdot \overline{w} = \\\\ (a + bi)(a - bi) = \\\\ a^2 - b^2i^2 = \\\\ a^2 - b^2 \cdot (- 1) = \\\\ a^2 + b^2\) E,... \(\\ w - \overline{w} = \\\\ (a + bi) - (a - bi) = \\\\ \cancel{a} + bi - \cancel{a} + bi = \\\\ 2bi\) Portanto, \(\\ w \cdot \overline{w} + 2(w - \overline{w}) = 5 - 8i \\\\ a^2 + b^2 + 2 \cdot 2bi = 5 - 8i \\\\ a^2 + b^2 + 4bi = 5 - 8i\) Da igualdade acima, tiramos o seguinte sistema: \(\begin{cases} a^2 + b^2 = 5 \\ 4b = - 8 \end{cases}\) Resolvendo a segunda equação... \(\\ 4b = - 8 \\\\ b = - \frac{8}{4} \\\\ \fbox{b = - 2}\) Substituindo o valor de \(b\) na 1ª equação do sistema, temos: \(\\ a^2 + b^2 = 5\) \(a^2 + (- 2)^2 = 5\) \(a^2 + 4 = 5\) \(\fbox{a = \pm 1}\) Logo, \(\fbox{\fbox{\fbox{w = 1 - 2i}}}\) ou \(\fbox{\fbox{\fbox{w = - 1 - 2i}}}\) Comente qualquer dúvida! Para a segunda dúvida, abra um outro tópico, pois de acordo com as regras do Fórum "Um exercício por tópico". Att, Daniel Ferreira. |
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