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| (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=3502 |
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| Autor: | vestibulando123 [ 04 set 2013, 23:58 ] |
| Título da Pergunta: | (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes [resolvida] |
Oi pessoal, Segue o exercício Considere \(16.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\) Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é? Bom, após muito tempo conseguir chegar em: \((\frac{1-ix}{1+ix})^3=16\) Tentei 3 opções, todas em vão: I. Multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Cheguei em uma equação com raízes cúbicas, o que ficou muito difícil de avançar. II. O cubo da soma no termo antecedente e no termo consequente, mas não ajudou em nada. III. Tentei dividir a razão cúbica por 16, ficando: \(\left (\frac{1-ix}{1+ix} \right )^{3} \div {16} = 0\) Grato. |
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| Autor: | Fraol [ 06 set 2013, 15:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes |
Oi, bom dia. 1) O que ocorreu com o fator 16 do primeiro membro no seu desenvolvimento? 2) Depois disso, será necessário desenvolver os cubos da soma e da diferença. Com isso já dá deve resolver. |
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| Autor: | vestibulando123 [ 06 set 2013, 20:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes |
Oi fraol, Fiz o seguinte \(16.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\) \(2^4.(\frac{1-ix}{1+ix})^3 = (\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 = \frac{(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i})^4}{2^4}\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}}{2})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{(1-i)(1+i)}}{2})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{(1+i+1-i)(1+i-1+i)}{(1-i)(1+i)}}{2})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{2.2i}{1^2-i^2}}{2})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =(\frac{\frac{2.2i}{2}}{2})^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =i^4\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =i^0\) \((\frac{1-ix}{1+ix})^3 =1\) Foi assim. O que você acha da resolução? |
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| Autor: | Fraol [ 06 set 2013, 20:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes |
Beleza, Até aí tá muito bom. Agora é passar o denominador para o lado direito (multiplicando 1 que dá o próprio denominador) e Citar: 2) Depois disso, será necessário desenvolver os cubos da soma e da diferença. aí dá para achar as raízes e responder o que se pede lá no início.
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| Autor: | vestibulando123 [ 06 set 2013, 21:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Soma dos quadrados das raízes |
Veja o término de minha resolução \((1-ix)^3=(1+ix)^3\) \(1^3-3.1^2ix+3.1i^2x^2-i^3x^3=1^3+3.1^2.ix+3.1i^2x^2+i^3x^3\) \(-3.1^2ix-i^3x^3=+3.1^2.ix+i^3x^3\) \(2i^3x^3+6ix=0\) \(-2ix^3+6ix=0\) \(2ix(-x^2+3)=0\) Pela propriedade do produto nulo \(2ix=0\) \(x=\frac{0}{2i}\) \(x=0\) e \((-x^2+3)=0\) \(x^2=3\) \(x=\sqrt{3}\) ou \(x=-\sqrt{3}\) Contudo, o exercício pede a soma dos quadrados das raízes da equação. Desculpe-me por esquecer esse detalhe. \(E=0^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2\) \(E=3+3\) \(E=6\) A resposta está correta de acordo com o gabarito. Muito obrigado pela ajuda, fraol. Um grande abraço! |
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