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| (ITA-SP) Somatório https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=3516 |
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| Autor: | vestibulando123 [ 06 set 2013, 21:45 ] |
| Título da Pergunta: | (ITA-SP) Somatório |
Ao me deparar com esse exercício fiquei totalmente desamparado. Não consegui ver nenhum modo de realiza-lo. Sendo, \(z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}\) Calcule \(|\sum_{n=1}^{60} z^n|=|z+z^2+z^3+...+z^6^0|\) A única propriedade que eu sei que TALVEZ pode ser útil é: \(|z+z^2+z^3+...+z^6^0|=|z|+|z^2|+|z^3|+...+|z^6^0|\) O que fazer? Obrigado. |
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| Autor: | vestibulando123 [ 06 set 2013, 21:50 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Somatório |
Pensando bem, achei algo interessante. Elevei os dois lados ao quadrado \(z^2=\frac{(1+i)^2}{(\sqrt{2})^2}\) \(z^2=\frac{2i}{2}\) \(z^2=i\) \(z=\sqrt{i}\) ou \(z=-\sqrt{i}\) E agora? |
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| Autor: | vestibulando123 [ 06 set 2013, 21:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Somatório |
Também creio que essa propriedade poderá ser útil \((\sqrt[n]{x})^y=\sqrt[n]{x^y}\) |
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| Autor: | Fraol [ 07 set 2013, 01:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Somatório |
Boa noite, Uma forma de encarar esse problema é usar o fato de que \(z + z^2 + z^2 + ... + z^60\) é a soma de uma PG, certo? |
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| Autor: | npl [ 07 set 2013, 18:55 ] |
| Título da Pergunta: | Fórmula trigonométrica?! |
Suspeito que a solução passe por escrever a sucessão dos números complexos na sua fórmula trigonométrica. Depois de analisar a sucessão é bem possível que se consiga encontrar a expressão do termo geral/calcular a soma dos 60 termos. |
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| Autor: | npl [ 07 set 2013, 19:06 ] |
| Título da Pergunta: | Fórmula verdadeira? |
vestibulando123 Escreveu: A única propriedade que eu sei que TALVEZ pode ser útil é: \(|z+z^2+z^3+...+z^6^0|=|z|+|z^2|+|z^3|+...+|z^6^0|\) Esta propriedade é verdadeira? Pensei no caso de Z = i e a não ser que me tenha enganado não deu o mesmo resultado :\ |
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| Autor: | vestibulando123 [ 07 set 2013, 19:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: (ITA-SP) Somatório |
Olá npl, O senhor está deveras correto. Equivoquei-me Confundi a propriedade com a do produto: \(|z.w|=|z|.|w|\) Desculpe-me pelo equívoco. Vou tentar resolver o exercício novamente e depois retorno. Um abraço! |
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