Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sejam

\(z=n^2(cos\frac{\pi }{4}+isen\frac{\pi }{4})\)

e

\(w=(cos\frac{\pi }{12}+isen\frac{\pi }{12})\)

em que n é o menor número inteiro positivo tal que

\((1+i)^n \in \mathbb{R}\)

Então a razão z/w é?

Consegui fazer boa parte, mas não consegui prosseguir na solução de n.

Obrigado.

Obs.: cos e sen possuem o mesmo argumento principal(a razão dos senos), mas o LaTeX deu problema!

primeira coisa a resolver, qual o menor inteiro positivo que faz \((1+i)^n\) ser real.

\((1+i)^n=(\sqrt{2}e^{j\pi/4})^n\)
\(=\sqrt{2}^n.e^{jn\pi/4}\)

Para ser real, \(e^{jn\pi/4}\)tem de ser real e n tem de ser múltiplo de 4. Logo, n=4 é a solução.

agora, vejamos \(\frac{z}{w}\)

\(\frac{z}{w}=\frac{4^2(cos(\pi/4)+sin(pi/4))}{cos(\pi/12)+sin(\pi/12)}\)
\(\frac{z}{w}=\frac{16e^{j\frac{\pi}{4}}}{e^{j\frac{\pi}{12}}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{4} - j\frac{\pi}{12}}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12})}\)
\(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{6}}\)

_________________
José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Oi josesousa,

Obrigado pela atenção.

Veja a ideia a seguir sobre encontrar o número n

Seja um número complexo k, teremos

\(k=1+1i\)

Colocando os valores no Plano de Argand-Gauss fica como ilustrei.

Calculando o módulo, teremos:

\(|z|=\rho =\sqrt{2}\)

O argumento principal será calculado por relações trigonométricas básicas

\(tg\Theta =\frac{b}{a}=1\)

\(\therefore \Theta =45\)

Então

Para que seja real, necessita-se que

\(isen\Theta =0\)

Como i é raiz de -1, precisamos encontrar um valor que sen seja 0. Este valor é 180º

\(isen45.4=0

[tex]isen180=0\)

Acabamos de encontrar n=4

\((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\)

\((1+i)^4=4(cos180+isen180)\)

\((1+i)^4=4(-1+0)\)

\((1+i)^4=-4\)

Creio que também esteja correto.

Um abraço!

Sim, está!

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José Sousa
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