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Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=3543	Página 1 de 1

Autor:	vestibulando123 [ 10 set 2013, 00:23 ]
Título da Pergunta:	Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
Sejam \(z=n^2(cos\frac{\pi }{4}+isen\frac{\pi }{4})\) e \(w=(cos\frac{\pi }{12}+isen\frac{\pi }{12})\) em que n é o menor número inteiro positivo tal que \((1+i)^n \in \mathbb{R}\) Então a razão z/w é? Consegui fazer boa parte, mas não consegui prosseguir na solução de n. Obrigado. Obs.: cos e sen possuem o mesmo argumento principal(a razão dos senos), mas o LaTeX deu problema!

Autor:	josesousa [ 10 set 2013, 15:53 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
primeira coisa a resolver, qual o menor inteiro positivo que faz \((1+i)^n\) ser real. \((1+i)^n=(\sqrt{2}e^{j\pi/4})^n\) \(=\sqrt{2}^n.e^{jn\pi/4}\) Para ser real, \(e^{jn\pi/4}\)tem de ser real e n tem de ser múltiplo de 4. Logo, n=4 é a solução. agora, vejamos \(\frac{z}{w}\) \(\frac{z}{w}=\frac{4^2(cos(\pi/4)+sin(pi/4))}{cos(\pi/12)+sin(\pi/12)}\) \(\frac{z}{w}=\frac{16e^{j\frac{\pi}{4}}}{e^{j\frac{\pi}{12}}}\) \(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{4} - j\frac{\pi}{12}}\) \(\frac{z}{w}= 16e^{j(\frac{3\pi}{12} - \frac{\pi}{12})}\) \(\frac{z}{w}= 16e^{j\frac{\pi}{6}}\)

Autor:

vestibulando123 [ 10 set 2013, 21:04 ]

Título da Pergunta:

Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)

Oi josesousa,

Obrigado pela atenção.

Veja a ideia a seguir sobre encontrar o número n

Seja um número complexo k, teremos

\(k=1+1i\)

Colocando os valores no Plano de Argand-Gauss fica como ilustrei.

Calculando o módulo, teremos:

\(|z|=\rho =\sqrt{2}\)

O argumento principal será calculado por relações trigonométricas básicas

\(tg\Theta =\frac{b}{a}=1\)

\(\therefore \Theta =45\)

Então

Para que seja real, necessita-se que

\(isen\Theta =0\)

Como i é raiz de -1, precisamos encontrar um valor que sen seja 0. Este valor é 180º

\(isen45.4=0

[tex]isen180=0\)

Acabamos de encontrar n=4

\((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\)

\((1+i)^4=4(cos180+isen180)\)

\((1+i)^4=4(-1+0)\)

\((1+i)^4=-4\)

Creio que também esteja correto.

Um abraço!

Anexos:

módulo.jpg [ 11.95 KiB | Visualizado 1996 vezes ]

Autor:	josesousa [ 10 set 2013, 21:50 ]
Título da Pergunta:	Re: Encontrar a razão de números complexos (ITA-SP)
vestibulando123 Escreveu: Acabamos de encontrar n=4 \((1+i)^4=[\sqrt{2}(cos45+isen45)]^4\) \((1+i)^4=4(cos180+isen180)\) \((1+i)^4=4(-1+0)\) \((1+i)^4=-4\) Creio que também esteja correto. Um abraço! Sim, está!

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