Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite,

Tenho um exercício que estou com dificuldades em resolver. Se me pudessem ajudar agradecia imenso.

Considere a equação \(z^2 - 8z + 25 = 0\). Encontre as soluções da equação e escreva-as na forma trignométrica.

Obrigada

PARTE I:

\(z^2 - 8z + 25 = 0\)

\(\Delta = 64 - 100\)

\(\Delta = - 36\)

\(\Delta = 36 . (- 1)\)

\(\Delta = 36i^2\)

\(z' = \frac{8 + \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 + 6i}{2} ====> z' = 4 + 3i\)

\(z'' = \frac{8 - \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 - 6i}{2} ====> z' = 4 - 3i\)

Mónica,
a primeira parte foi solucionada, ficou alguma dúvida?

PARTE II:

A forma trigonométrica é dada pela fórmula \(z = \rho (cos\theta + isen\theta )\).

\(z' = a + bi ====> z' = 4 + 3i\)

temos,
a = 4
b= 3

\(\rho = \sqrt{a^2 + b^2} ====> \rho = \sqrt{16 + 9} ====> \rho = 5\)

\(cos\theta = \frac{a}{\rho} ======> cos\theta = \frac{4}{5}===> \theta = arccos\frac{4}{5}\)

\(sen\theta = \frac{b}{\rho} ======> sen\theta = \frac{3}{5}===> \theta = arcsen\frac{3}{5}\)

Logo,
\(z = 5[cos(arccos\frac{4}{5}) + isen(arcsen\frac{3}{5})]\)

Mónica,
não resolvi a outra raiz, para que você possa tentar.

Aguardo seu retorno!!

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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Olá, muito obrigada. Deu-me uma grande ajuda mas eu preciso de exprimir o resultado na forma \(\rho cis\Theta\) e não posso utilizar a máquina calculadora.
Como é que faço para saber o valor de \(\Theta\)???
O resto percebi muito bem, mais uma vez obrigada

Repare que \(acos(4/5)=asen(3/5) = \theta\)
Assim, \(\rho = 5, \theta = asen(3/5)\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Obrigada pela ajuda mas agora perdi-me .

Então o resultado final é z = \(\inline 5 cis \left [\alpha \sin \left ( 3/5 \right ) \right ]\)?

Se me pudesse esclarecer melhor agradecia,
Obrigada

Eu não confirmei as contas do outro colega, mas se estão certas, é isso

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Ok, conferi rapidamente e assim é.
\(\rho = 5, \theta = asin(\frac{3}{5})\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Boa tarde!

Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\).

Cumprimentos!

Boa noite!

(...)

\(\Delta = - 36\)

\(\Delta = + 36 . (- 1)\)

Temos que:
i^0 = 1

\(i^1 = i\)

\(i^2 = - 1\)

\(i^3 = - i\)

Com isso, podemos substituir \(- 1\) por \(i^2\), afim de extrair a raiz de delta, veja:
\(\Delta = + 36 . i^2\)

\(\Delta = + 36i^2\)

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Daniel Ferreira
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Boa noite, a minha dúvida é esse "delta", ser igual a 36. Onde foi buscar esse 36?

No enunciado só vejo a equação. Provavelmente estará algo a passar-me ao lado.