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| equações números complexos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=465 |
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| Autor: | Mónica [ 12 jun 2012, 21:00 ] |
| Título da Pergunta: | equações números complexos |
Boa noite, Tenho um exercício que estou com dificuldades em resolver. Se me pudessem ajudar agradecia imenso. Considere a equação \(z^2 - 8z + 25 = 0\). Encontre as soluções da equação e escreva-as na forma trignométrica. Obrigada |
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| Autor: | danjr5 [ 13 jun 2012, 02:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
PARTE I: \(z^2 - 8z + 25 = 0\) \(\Delta = 64 - 100\) \(\Delta = - 36\) \(\Delta = 36 . (- 1)\) \(\Delta = 36i^2\) \(z' = \frac{8 + \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 + 6i}{2} ====> z' = 4 + 3i\) \(z'' = \frac{8 - \sqrt{36i^2}}{2} ====> z' = \frac{8 - 6i}{2} ====> z' = 4 - 3i\) Mónica, a primeira parte foi solucionada, ficou alguma dúvida? PARTE II: A forma trigonométrica é dada pela fórmula \(z = \rho (cos\theta + isen\theta )\). \(z' = a + bi ====> z' = 4 + 3i\) temos, a = 4 b= 3 \(\rho = \sqrt{a^2 + b^2} ====> \rho = \sqrt{16 + 9} ====> \rho = 5\) \(cos\theta = \frac{a}{\rho} ======> cos\theta = \frac{4}{5}===> \theta = arccos\frac{4}{5}\) \(sen\theta = \frac{b}{\rho} ======> sen\theta = \frac{3}{5}===> \theta = arcsen\frac{3}{5}\) Logo, \(z = 5[cos(arccos\frac{4}{5}) + isen(arcsen\frac{3}{5})]\) Mónica, não resolvi a outra raiz, para que você possa tentar. Aguardo seu retorno!! Daniel F. |
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| Autor: | Mónica [ 13 jun 2012, 15:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Olá, muito obrigada. Deu-me uma grande ajuda mas eu preciso de exprimir o resultado na forma \(\rho cis\Theta\) e não posso utilizar a máquina calculadora. Como é que faço para saber o valor de \(\Theta\)??? O resto percebi muito bem, mais uma vez obrigada 
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| Autor: | josesousa [ 14 jun 2012, 11:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Repare que \(acos(4/5)=asen(3/5) = \theta\) Assim, \(\rho = 5, \theta = asen(3/5)\) |
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| Autor: | Mónica [ 14 jun 2012, 16:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Obrigada pela ajuda mas agora perdi-me .Então o resultado final é z = \(\inline 5 cis \left [\alpha \sin \left ( 3/5 \right ) \right ]\)? Se me pudesse esclarecer melhor agradecia, Obrigada |
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| Autor: | josesousa [ 14 jun 2012, 17:00 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Eu não confirmei as contas do outro colega, mas se estão certas, é isso 
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| Autor: | josesousa [ 14 jun 2012, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Ok, conferi rapidamente e assim é. \(\rho = 5, \theta = asin(\frac{3}{5})\) |
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| Autor: | Rubik [ 26 jun 2012, 19:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Boa tarde! Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\). Cumprimentos! |
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| Autor: | danjr5 [ 26 jun 2012, 22:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Rubik Escreveu: Boa tarde! Assisti à resolução do problema, mas não fui capaz de perceber como se chega ao valor de \(36i^2\). Cumprimentos! Boa noite! (...) \(\Delta = - 36\) \(\Delta = + 36 . (- 1)\) Temos que: i^0 = 1 \(i^1 = i\) \(i^2 = - 1\) \(i^3 = - i\) Com isso, podemos substituir \(- 1\) por \(i^2\), afim de extrair a raiz de delta, veja: \(\Delta = + 36 . i^2\) \(\Delta = + 36i^2\) |
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| Autor: | Rubik [ 26 jun 2012, 23:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: equações números complexos |
Boa noite, a minha dúvida é esse "delta", ser igual a 36. Onde foi buscar esse 36? No enunciado só vejo a equação. Provavelmente estará algo a passar-me ao lado. |
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