Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Considera um número complexo \(w=rcis\alpha\) e o seu conjugado.
Mostra que:
\(\frac{w^{n}+{\bar{w}^n}}{w^n-\bar{w}^n}\)
é um imaginário puro, seja qual for o número natural n.

Eu fiz assim:
\(\frac{(rcis\alpha )^n+(rcis(-\alpha))^n }{(rcis\alpha )^n-(rcis(-\alpha ))^n}=\frac{r^ncis(n\alpha )+r^ncis(-n\alpha ))}{r^ncis(n\alpha )-r^ncis(-n\alpha )}=\frac{r^n(cis(n\alpha )+cis(-n\alpha ))}{r^n(cis(n\alpha )-cis(-n\alpha ))}=\frac{(cis(n\alpha )+cis(-n\alpha ))}{(cis(n\alpha )-cis(-n\alpha ))}\)

Como sei que \(z+\bar{z}=\)número real e \(z-\bar{z}=\)imaginário puro, se \(z=cis(n\alpha )\) e \(\bar{z}=cis(-n\alpha )\), tem-se:
\(\frac{z+\bar{z}}{z-\bar{z}}\)
A partir daqui já não consegui provar...

Mas já quase provou!

\(z+\bar{z} = 2 Re(z), \qquad z-\bar{z} = 2 i Im(z)\)

Logo

\(\frac{z+\bar{z}}{z-\bar{z}} = \frac{Re(z)}{i Im(z)} = -i \quad\frac{Re(z)}{Im(z)}\)


que é de facto umimaginário puro. Note que Re(z) e Im(z) são números reais, o mesmo acontecendo com Re(z)/Im(z). No último passo multipliquei o numerador e o denominador por i.