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| Mostrar que é um imaginário puro, seja qual for o número natural n https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=6092 |
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| Autor: | fff [ 20 mai 2014, 16:26 ] |
| Título da Pergunta: | Mostrar que é um imaginário puro, seja qual for o número natural n [resolvida] |
Considera um número complexo \(w=rcis\alpha\) e o seu conjugado. Mostra que: \(\frac{w^{n}+{\bar{w}^n}}{w^n-\bar{w}^n}\) é um imaginário puro, seja qual for o número natural n. Eu fiz assim: \(\frac{(rcis\alpha )^n+(rcis(-\alpha))^n }{(rcis\alpha )^n-(rcis(-\alpha ))^n}=\frac{r^ncis(n\alpha )+r^ncis(-n\alpha ))}{r^ncis(n\alpha )-r^ncis(-n\alpha )}=\frac{r^n(cis(n\alpha )+cis(-n\alpha ))}{r^n(cis(n\alpha )-cis(-n\alpha ))}=\frac{(cis(n\alpha )+cis(-n\alpha ))}{(cis(n\alpha )-cis(-n\alpha ))}\) Como sei que \(z+\bar{z}=\)número real e \(z-\bar{z}=\)imaginário puro, se \(z=cis(n\alpha )\) e \(\bar{z}=cis(-n\alpha )\), tem-se: \(\frac{z+\bar{z}}{z-\bar{z}}\) A partir daqui já não consegui provar... |
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| Autor: | Sobolev [ 20 mai 2014, 20:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que é um imaginário puro, seja qual for o número natural n |
Mas já quase provou! \(z+\bar{z} = 2 Re(z), \qquad z-\bar{z} = 2 i Im(z)\) Logo \(\frac{z+\bar{z}}{z-\bar{z}} = \frac{Re(z)}{i Im(z)} = -i \quad\frac{Re(z)}{Im(z)}\) que é de facto umimaginário puro. Note que Re(z) e Im(z) são números reais, o mesmo acontecendo com Re(z)/Im(z). No último passo multipliquei o numerador e o denominador por i. |
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