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| Provar por recurso a Divisibilidade ou Congruências https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=8716 |
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| Autor: | EREGON [ 10 mai 2015, 16:32 ] |
| Título da Pergunta: | Provar por recurso a Divisibilidade ou Congruências |
Olá, gostaria de ter uma ajuda para resolver este exercício: Dados 2 números naturais a e b não nulos, provar que a/mdc(a,b) e b/mdc(a,b) são primos entre si. Obrigado Paulo |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 11 mai 2015, 18:16 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar por recurso a Divisibilidade ou Congruências |
Seja d um divisor (positivo) comum a \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e a \(b/\mbox{mdc}(a,b)\). Dizer que \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e \(b/\mbox{mdc}(a,b)\) são primos entre si é dizer que d tem de ser necessariamente 1. Mas se d um divisor comum a \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e a \(b/\mbox{mdc}(a,b)\), então \((a/\mbox{mdc}(a,b))/d=a/(d\mbox{mdc}(a,b))\) e a \((b/\mbox{mdc}(a,b))/d=b/(d\mbox{mdc}(a,b))\) são números inteiros o que significa que \(d\mbox{mdc}(a,b)\) é divisor comum a \(a\) e \(b\). Logo \(d\mbox{mdc}(a,b)\leq \mbox{mdc}(a,b)\) (por definição de máximo divisor comum), logo d tem de necessariamente ser 1. |
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