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Olá,

gostaria de ter uma ajuda para resolver este exercício:

Dados 2 números naturais a e b não nulos, provar que a/mdc(a,b) e b/mdc(a,b) são primos entre si.

Obrigado

Paulo

Seja d um divisor (positivo) comum a \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e a \(b/\mbox{mdc}(a,b)\). Dizer que \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e \(b/\mbox{mdc}(a,b)\) são primos entre si é dizer que d tem de ser necessariamente 1. Mas se d um divisor comum a \(a/\mbox{mdc}(a,b)\) e a \(b/\mbox{mdc}(a,b)\), então \((a/\mbox{mdc}(a,b))/d=a/(d\mbox{mdc}(a,b))\) e a \((b/\mbox{mdc}(a,b))/d=b/(d\mbox{mdc}(a,b))\) são números inteiros o que significa que \(d\mbox{mdc}(a,b)\) é divisor comum a \(a\) e \(b\). Logo \(d\mbox{mdc}(a,b)\leq \mbox{mdc}(a,b)\) (por definição de máximo divisor comum), logo d tem de necessariamente ser 1.